= Datum der Prüfung
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
= Prüfungsfragen
= Note (Optional)
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)

= Datum der Prüfung
17.02.2020

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
2 - 4 Wochen, abhängig von der Person

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Übungsblätter, MC-Tests, Vorlesungsskript, Online-Videos (Khan Academy, Daniel Jung, 3blue1brown)

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Die Atmosphäre der Prüfung war entspannt, die Beisitzer haben versucht uns mit ein Paar Witzen zu beruhigen und entspannen

= Prüfungsfragen

1.) Beweise die folgende Gleichheit:

A \ (A \ B) = A Schnitt B


2.) Sei V ein K-Vektorraum und U,W Unterräume von V. Beweise folgendes:
Die Vereinigung von U und W ist ein Unterraum von V genau dann, wenn U Teilmenge von W ist oder W Teilmenge von U.


3.) Beweis per Induktion:
Sei Q eine lineare Abbildung/ Homomorphismus und Q injektiv. Dann ist die Konkatenierung Q1,Q2,...,Qn auch eine lineare Abbildung und injektiv für alle n in den naturlichen Zahlen


4.) Es war eine 3x4 Matrix gegeben und b gegeben (also ein lineares Gleichungssystem)

a.) Wandle die (A|b) Matrix in die Zeilenstufenform um.

b.) Bestimme den Defekt und Kern von der Matrix.

c.) Bestimme den Rang der Matrix.

d.) (Zusatzaufgabe) Ich kann mich nicht genau erinnern, aber man sollte zwei Lösungsmengen bestimmen.


5.) Gegeben war die 1x3 Matrix A = (1 2 3).

a.) Bestimme AT*A und A*AT (T bedeutet Transposition von A)

b.) Überprüfe auf Invertierbarkeit, falls invertierbar, bestimme die Inverse

c.) Es war eine 3x3 Matrix gegeben, man sollte den Eigenwert davon ausrrechnen.


6.) Es waren zwei Vektoren gegeben als eine Basis von R^2.

a.) Bestimme die Orthonormalbasis von R^2, wobei u1 = l*a1 (a1 war der Basisvektor)

b.) Bestimme einen Vektor v der eine R^3 Orthonormalbasis {u1,u2,v) erstellt

c.) Bestimme den Orthogonalkomplement.


7.) und 8.) waren Zusatzaufgaben, aber diese habe ich schon vergessen.


= Note (Optional)
Nicht bekannt.

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Die Prüfung war deutlich schwerer als die Präsenztests und die MC-Tests die wir vorher bearbeitet haben. Die Hälfte der Aufgaben waren nur formale Beweise, also sollte man viel im diesen Bereich üben. Ich persönlich hätte mir gewünscht, dass es mehr Aufgaben gegeben hätte, wo man Berechnungen durchführen soll. 

= Tipps
Man muss viele Beweise durchführen, um die Prüfung zu bestehen, also sollte man sich diese in den Übungsblättern anschauen, man sollte auch die ganzen Berechnungen/ Algorithmen drauf haben, also Gaußscher Algorithmus, Laplacescher Entwicklungssatz (kam bei uns nicht dran, aber man sollte das trotzdem können), Gram-Schmidt etc.

Dies ist eine Vervollständigung des Protokolls 907.

= Datum der Prüfung
17.02.2020 9:30

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
Eine Woche, wenn man davor die Hausaufgaben gelöst hat.

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Übungsblätter, MC-Tests, Vorlesungsskript
Khan Academy "Linear Algebra" Kurs ist sehr empfehlenswert 

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
ziemlich enspannt

= Prüfungsfragen

Erreichbare Punkten - 53 + Zusatzpunkte, 26,5 reicht fürs Bestehen, Zeit - 2 Stunden

1. Beweise B\(B\A) = B geschnitten A

  8 oder 6 Punkte, Aufgabe aus den Klausuraufgaben-Vorschlägen
  "In diesem (Moodle) Forum haben Sie die Möglichkeit Aufgaben für die Klausur vorzuschlagen. 
  Die Aufgaben können Sie selbst für die Vorbereitung auf die Klausur verwenden." - Zitat aus 
  dem Moodle Kurs.
    


2. Gegeben Funktion f, Element aus Homomorphismen V nach V, f ist injektiv. 
  Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass 
  f^n (definiert induktiv f^1 = f; f^(n+1) = (f^n)°f (Hintereinanderausführung)) wiederum eine 
  injektive Funktion ist.

  10 Punkte


3. Zeige dass eine Vereinigung zweier Unterräume U,W eines Vektorraums V genau dann ein 
  Unterraum von V ist, wenn U teilmenge W oder W teilmenge U ist.

  8 oder 6 Punkte, Aufgabe aus den Klausuraufgaben-Vorschlägen
  "In diesem (Moodle) Forum haben Sie die Möglichkeit Aufgaben für die Klausur vorzuschlagen. 
  Die Aufgaben können Sie selbst für die Vorbereitung auf die Klausur verwenden." - Zitat aus 
  dem Moodle Kurs.


4. A = (1, 2, 3)

  Bestimme 

  B = A^TA (Matrizenmultiplikation A transponiert mal A)
  C = AA^T (Matrizenmultiplikation A mal A transponiert)

  Untersuche B,C auf Invertierbarkeit, berechne ggf. die Inverse.


5. Gegeben eine Matrix 3x4 

  mit folgenden Einträgen:
  1 2 0 1
  2 4 1 6 
  3 6 3 9

  Vektor b:
  4
  b2
  b3

  (aus dem Gedächtnis, vielleicht nicht die tatsächlichen Zahlen)

  a.) Wandle die (A|b) Matrix in die Zeilenstufenform mittels Gaußsches EliminationsVerfahren 
  um.

  b.) Bestimme den Defekt von der Matrix und die Basis des Kerns.

  c.) Bestimme den Rang der Matrix.

  Zusatzaufgabe:
  d.*) b' sei die Summe der Spaltenvektoren von A. Bestimme die Lösungsmenge von (A|b'), und 
  deren Kardinalität.


6. Gegeben ist die 3x3 Matrix

  1 2 0
  2 4 0
  0 0 5

  Bestimme die Eigenwerte. 


7. Basis B von R^2 besteht aus folgenden Vektoren u1, u2:
  
  -1    1
   0   -1
   1    1

  Bestimme eine ONB B', wobei u1' ist ein Vielfaches von u1 (u1 und u1' haben dieselbe 
  Richtung). 

  Erweitere die ONB B' mit einem Vektor v, so das die entstandene Basis von R^3 wiederum eine 
  ONB ist.

  Bestimme die Basis des orthogonalen Komplements von Span({u1,u2}), begründe.

  11 Punkte


8.* Zusatz Aufgabe

  Gegeben ein Vektorraum über den Körper (Z/5Z, +, *) (Modulo Operationen).

  Sei V der Span von 3 Vektoren

  [1]  [3]  [4]
  [2]  [1]  [3]

  und M die Menge mit 2 Vektoren.
  
  [0]  [2]
  [2]  [4]

  Bestimme V geschnitten M, dim(V), die Kardinalität von V.


9.* Zusatz Aufgabe

  Gegeben eine Matrix B mit Dimensionen nxn, n eine natürliche ungerade Zahl.
  
  B^T = -B (B Transponiert ist gleich (-1)B).

  Zeige das det(B) = 0.
  

 
= Note (Optional) 

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Wenn man die Aufgaben aus den Klausuraufgaben-Vorschlägen richtig gelöst und noch Punkte aus den weiteren Aufgaben, wie z.B. die machbare Vollständige Induktion Aufgabe, gesammelt hätte, könnte man über die Hälfte der Punkte kommen. 

= Datum der Prüfung 15.06.2020 (2h)
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung 1 Woche
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...) LinaSkript
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer: take home Klausur also alleine
= Prüfungsfragen
= Note (Optional)
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
  An sich eine sehr angemessene Klausur, man muss durcharbeiten ohne viel nachzudenken wenn man alles schaffen     will, aber auch nicht unmögllich 


1.)
Zeigen Sie, dass für jedes n ∈N0 folgende Aussage gilt: 23|(5^2n −2^n).

2.)
Sei K ein Körper und für beliebiges n ∈N sei die Menge O(n) gegeben durch

 O(n) := {X ∈ K^n×n | X ist invertierbar und es gilt X^−1 = X^T}. 

(a) Wir betrachten die Relation (R,K^n×n) mit

 ARB falls ∃X ∈ O(n) : A = XBXT. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. 

Hinweis Bloßes Benennen der notwendigen Eigenschaften genügt nicht. Es ist zu zeigen, dass R diese Eigenschaften erfüllt. 

(b) Es seien nun A,B ∈ K^n×n und X ∈ O(n) so gegeben, dass A := XBX^T.
 (i) Zeigen Sie, dass σ(A) = σ(B).
(ii) Zeigen Sie, dass detA = detB.

3.)

Im euklidischen Vektorraum R3 mit dem Standardskalarprodukt seien 

U :={x = (x1,x2,x3)^T ∈R^3 | x1 −x2 + x3 = 0∧2x1 −x3 = 0} und
W :=span({w1,w2}) mit w1 = (1,1,0)^T, w2 = (0,1,1^)T. 


(a) Bestimmen Sie eine Basis BU von U und die Dimension U. 
(b) Bestimmen Sie jeweils die Dimension von U ∩W und von U + W. 
(c) Bestimmen Sie eine ONB BW von W, wobei αw1 ∈ BW für ein α ∈R. Hinweis Bestimmen Sie zuerst ein passendes α ∈R.

4.)

Gegeben seien die Abbildungen fi : R2 →R2, i = 1,...,3 mit


 f1(x) := x1 −x2   f2(x) := x1 *x2   f3(x) :=     1
            x2               −x2                 2x1


 mit x = (x1,x2)^T ∈R2. 



(a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen Homomorphismen sind (mittels Beweis bzw. Gegenbeispiel). 
(b) Stellen Sie die Homomorphismen aus (a) mit Hilfe von (Abbildungs-) Matrizen dar.

5.)
Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem (LGS) mit x1,x2,x3 ∈R.

 2x1 + x2 + x3 = 1,
 6x1 + x2 + x3 = 1,
 4x1 +     3x3 = 1. 



(a) Stellen Sie das LGS in Matrix-Vektor-Schreibweise dar und überführen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix mittels Gaußschem Algorithmus in Zeilenstufenform. Geben Sie die Lösungsmenge des LGS und ihre Kardinalität an. 

(b) Es sei A die Koeffizientenmatrix des obigen linearen Gleichungssystems und f : R3 →R3 gegeben durch x → Ax. Ist diese Abbildung f 
• ein Homomorphismus? • injektiv? • bijektiv? und/oder • surjektiv?
Begründen Sie Ihre Antworten.

6.)

Gegeben Sei die Matrix A =1 2
                          2 4

(a) Bestimmen Sie je eine Basis für kerA und imA. Überführen Sie A hierzu in Zeilen und Spaltenstufenform. 
(b) Bestimmen Sie die Menge aller Matrizen B ∈R^2×2, für die AB = A^T gilt. Geben Sie zwei verschiedene Elemente dieser Menge an. 
(c) Bestimmen Sie die Determinante und die Eigenwerte von A. Ist A invertierbar? 
(d) Bestimmen Sie eine Basis für den Eigenraum zum größten Eigenwert von A.

= Datum der Prüfung
21.02.2022
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
1-2 Wochen, wenn man Tutorien und Hausaufgaben macht
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
gutes Altklausuren mit Lösung
https://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/LinAlgAGeo1WS0708/la02P.pdf
https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~jeblick/Tutoriumsblaetter/lsgtut2.pdf
... viele weitere 
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
0 Kontakt mit Betreuern alles Digital. Aus einem großen Fragenkatalog werden Fragen zufällig verteilt.
= Prüfungsfragen

Gegeben ist eine 4x4 Matrix A mit Einträgen: 

A = [[2, -1, 0, 0],
[2, 1, 0, 0],
[0, 0, -1, 1],
[0, 0, 3, 2a]]

Dabei ist a ein frei Wählbarer Reeler Parameter. 

Bestimme L(A, 0) und geben Sie jeweils eine Basis und die Dimenstion für L(A, 0) an. Dieskutieren Sie die Lösbarkeit und die Anzahl der Lösungen des LGS Ax=b  für ein beliebiges b \in R.

Bestimme det(A) \in R. Ist A invertierbar? Warum?

1. Ist A invertierbar und warum?

= Note (Optional)
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)

= Datum der Prüfung 21.02.2022
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung 2-3 Wochen
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer 
Take-Home-Klausur
= Prüfungsfragen

Aufgabe 1a)
Matrix A = 3 0 -2  0
           0 2  0  1
           a 0  3  0
           0 0  0 -3

Bestimme Determinante. Ist Matrix invertierbar?
Bestimme L(A,0), Basis und Dimension von L(A,0)
Für ein beliebiges b sllte man die Anzahl der Lösungen bestimmen, sodass gilt Ax=b.

1b)
Matrix D = (-2 5 d)
Bestimme (D^T)D und D(D^T) und gib Rang, Invertierbarkeit und ggf. Inverse der Matrizen an.

2)
(R,A,B) ist Relation, anzugeben waren die Bedingungen sodass R eine Äquivalenzrelation ist.
M = {f|f: ist Abbildung} und MxM ist eine Relation mit 
f~g <=> (f°g)(x) = (g°f)(x) ist dies eine Äquivalenzrelation?

3)
v1=(-2, -1, 2), v2=(0,3,0) und U=span{v1, v2}
Bestimme Dimension und ONB von U und U(orthogonal).

4)
Induktion: 6|((m^2 + 2)2m)

5)
Aufgabe zu linearen Abbildungen für f:R^2 -> R
Anzugeben war ob die Aussage wahr oder falsch ist.
Z.B.
- f(x)=6x1 + 3
- f(x)=0
- f(x)=e^x1
- f(x)=2x1*x2

6)
Es waren 2 Funktionen gegeben und man musste angeben, ob diese injektiv/surjektiv sind. (Man musste mit den Definitionbereichen aufpassen)

7)
Es waren verschiedene Aussagen gegeben und man musste sagen, ob diese wahr oder falsch sind. A ist mxn Matrix und B ist nxn Matrix.
Z.B.
- Es gilt A(A^T) element von R^(nxn)
- det(B(B^T)) = det(B)^2
- wenn B nicht invertierbar dann rank(B) = n
- B orthogonal dann det(B(B^T))=1

= Note (Optional)
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)

= Datum der Prüfung 21.02.2022
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung 2-3 Wochen
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer 
Es war eine Take-Home-Klausur
= Prüfungsfragen

1)
Induktion 8|((2k + 1)^2 -1)

2)
A nxm Matrix und B mxn Matrix
Zeige das det(AB)=0 und zeige oder widerlege, dass det(BA)=0 ist.

3a)
Matrix A= 1  1  0 0
          1 -2  0 0
          0  0 -2 a
          0  0 -2 4
Berechne Determinante von A und ob sie invertierbar ist.
Betimme L(A,0) und davon die Basis und Dimension.

3b)
D=(d 5 4) berechne (D^T)D und D(D^T) und bestimme Rang und Invertierbarkeit.

4)
v1=(-1, 2, 2) v2=(4, b, 1) und v3=(0, 1, c)
Bestimme b und c, sodass die 3 Vektoren orhthogonal sind.
W=span{v1} bestimme ONB für W und W(orthogonal)

V= span{v1,v2,v3} die Frage war, welche Möglichkeiten für die Dimensionen von Y und Y(orthogonal) (Y Element von V) es gibt. Mit Begründung.

Aufgaben 5), 6) und 7) wie im vorherigen Protokoll.

= Note (Optional)
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)