Datum der Prüfung: 02.08.2004

"Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer:
Die Beisitzerin, eine mir unbekannte Frau, nahm keinen 
nennenswerten Einfluss auf den Verlauf
der Prüfung - wirkte jedoch ruhig und sympathisch.
Die Stimmung war etwas gedrückt, da man mit den Leistungen
meiner Vorgänger nicht zufrieden war.

Beschreibung der Prüfung/Prüfungsfragen:
- Was ist Optimierung? Wann nennen wir eine OA linear? 
 (Def.)
- Was ist der Restriktionsbereich? Wann ist eine Menge konvex?
- Satz 1: Punkt x extremal in M, wenn x Ecke in M
(muss M hier konvex sein? Ja! Warum?)
- Satz: S Lösungsmenge der LOA, es gibt Extremalpunkt x
in M, so dass x Element S (Wichtig: M muss Extremalpunkt
besitzen, S darf nicht leer sein!) - Beweisen Sie den Satz!
- Sprung zur Spieltheorie: Was ist ein antagonistisches
Spiel? Was eine annehmbare Situation?
- Lemma 1: Wenn (s1,s2), (t1,t2) sind GGS im
antagonistischen Spiel, dann sind auch (s1,t2), (t1,s2) GSS.
Beweisen Sie das Lemma!

Note: 1,3

Die formalen Dinge sind in der Prüfung äußerst relevant 
(Definitionen (sauber!), Sätze+Beweise)!!
Ich habe von niemandem gehört, der etwas vorrechnen sollte.
Die mündliche Prüfung läuft NICHT wie die Übungsaufgaben ab.
Diese Annahme hat vermutlich meine Vorgänger die Prüfung
gekostet!

Aber Frau Popova ist äußerst fair und hat in der VL genau
darauf hingewiesen und die zentralen Sätze und Lemmata
hervorgehoben.

Viel Glück!

Prüfungssituation war okay 
Themen: 
- Optimierung, "Lineare" Optimierung 
- Restriktionen 
- konvexes Polyeder, Extremalpunkt (def. und Lemma) 
- Satz 1 es existiert ein x extr. in M das auch extr. in S 
  Beweis ( bei mir hat nur die eine Hälfte funktioniert) 
  =>Bedeutung für das finden einer optimalen Lösung 
- Lösungmenge einer LOA 
- Spieltheorie: Antagonistisches Spiel  
- wann GGS 
 (ziemlich ausführlich) 
Rechnen, simplex, duale Aufgabe, Hilfsaufgabe, 
Lexikographisch und Transportaufgabe waren nicht gefragt. 
Sie hilft auch weiter wenn es beim Beweisen Probleme gibt. 
 
Note: bestanden aber nicht gut 
(war denk ich gerechtfertigt, da ich starke Probleme beim 
beweisen hatte) 

14.10.2004
Die Atmosphäre war entspannt, die Beisitzerin unauffällig.

Zuerst ging es um die TA, d.h.: 
- was ist das? 
- klassisch (später: wie modelliert man Streckensperrungen)?
- warum immer eine Lsg (z.Bsp.: M nie leer)?
- formales math. Modell (z.Bsp. was sind Variablen)
- dazu: Verbindung zum informalen (also wie drückt es sich im formalen aus)?
- wie begründet sich optimaler Plan (eine Richtung des Optimalitätssatzes zu zeigen)?
- Vorteile gegenüber Simplex (weniger Variablen, garantiert natürliche Lsg.)?

Im Zuge der TA (Methode der Potentiale löst ja die duale Aufgabe) ging es um Dualität:
- (P) und (D) in Ungleichungsform hinschreiben
- Dualitätssatz angesprochen (eigentlich schon bei TA), nicht bewiesen
- wie funzt dualer Simplex (nullte Spalte soll >= 0 werden)?
- Anwendungen: Güte der Annäherung, ganzz. Opt., Hinzufügen von NBen

Fiese Nachfragen (die durchaus möglich gewesen wären) gab es nicht.

Note: 1.0

= Datum der Prüfung: 04.08.2005

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung: 1-2 Wochen, ist hier
aber stark abhängig vom Lernenden

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...): Skript +
Mitschriften, dazu
www-mgi.informatik.rwth-aachen.de/Teaching/SeminarStrategien/franken.pdf
überflogen

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer

Dr. Popova-Zeugmann wirkte etwas resigniert, weil
die Prüfung davor wohl nicht so gut gelaufen war.  Die
Beisitzerin verhielt sich ruhig.

Ich war ein wenig zu schnell an manchen Stellen und habe
kleinere Fehler gemacht, auf die ich hingewiesen wurde,
konnte sie aber schnell korrigieren ohne das es mir
anscheinend übel genommen wurde.

-Prüfungsfragen

1. Sind Sie gesundheitlich in der Lage...?
 
2. Transportaufgabe:

- Erklären + modellieren
- warum ex. immer Lösung (klassich)? 
- Charakterisierungssatz ("Hinrichtung" beweisen)
- Variationen (Überproduktion, Streckensperrung), ein wenig
länger: Kapaziätsbeschränkung: wie löst man das? ("beweisen
"längere Version" vom Charakterisierungssatz", das reicht)

Dann überlegt Prüferin, was sie noch stellen könnte...

3. Ach ja: Spieltheorie:

- nennen von Satz, dass bei ant. Spielen (s1,s2) GGS
gdw. max... <= min...
- Def. gem. Erweiterung
- Nennen von Satz, dass gemischte Erweiterung immmer GGS
besitzt ("Da haben wir ja was gezeigt. Was denn?") + kurze
Beweisidee

4. wirkte eher optional ("Haben Sie sich das durchgelesen?"
- "Ja, viel mehr aber auch nicht"): Katschijan.

- Wie genau sieht "M" aus? Ein wenig darüber geredet,
irgendwann wusste ich nicht mehr so genau weiter (bzw. hielt
mich absichtlich im Vagen um nichts falsches zu sagen) und
Prüferin hat die Idee dann selbst hingeschrieben (lin.
Optimierungsproblem als Ungleichungssystem, den Zusammenhang
zum Ellipsoidenverfahren hatte ich nicht richtig
wahrgenommen) und ich habe weise genickt.

= Note: 1.0

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)

Die Prüfung war gut. Es wurden keine "schweren" Sätze
gefragt, dafür sollte man anscheinend den Stoff gut können
und wirklich verstanden haben, sonst wird`s wahrscheinlich
hakelig. Der Schwierigkeitsgrad der Fragen wuchs im Verlauf
der Prüfung.

= Datum der Prüfung: 
    2005-08-05

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
    10-14 tage

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
    skript + aufzeichnungen

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
    gut 
    passiv(außer einmal:"sollte das da nicht ein `y` sein?")

= Prüfungsfragen
    transportaufgabe
      - erklaeren & formal modell aufstellen
      - charakerisierunsgsatz aufschreiben und `->` beweisen
      - warum immer eine loesung?
      - optimalitaetskriterium
      - was tun bei streckensperrungen, ueber-/unterprod.
      
= Note
    3,3

= Fazit 
    die pruefung war ok, fair und laeuft so ab, wie in der 
    VL erzaehlt.
    die prueferin achtet genau auf detailierte, 
    korrekte definitionen und beweise (leider) und
    moechte diese genau aufgeschrieben haben.

Datum der Prüfung
12.10.2005

Benötigte Lernzeit als Empfehlung
2 Wochen

Verwendete Materialien
Vorlesungsscript, Aufzeichnungen

"Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
ungezwungen mit sachlicher Strenge
Bei Schwierigkeiten wird versucht zu unterstützen. 

Prüfungsfragen
es gab 2 Themengebiete, Schwerpunkt war die
Transportaufgabe, das zweite Thema war die Spieltheorie

TA - informale Beschreibung der TA
   - formal EXAKTE Modellierung der TA
   - verschiedene Varianten der TA nennen und kurz 
     Modellierung erläutern (Unter-/Überproduktion usw.)
   - Warum gibt es immer eine Lösung? (Aufgabe von unten 
     beschränkt, weil man keine negativen Menge trans- 
     portieren kann -> Minimierungsaufgabe <> -unendlich)
   - Beweis mit NW-ER (Ausgleich wegen Bilanzgleichung)
   - Charakterisierungssatz der LO (x opt. g.d.w. ...) 
     aufschreiben + eine Richtung EXAKT beweisen

Spieltheorie
   - Definition Spiel, GGS, s annehmbar, antagon. Spiel
   - Lemma 1 aufschreiben f(s1,s2), f(t1,t2) --> f(s1,t2),  
     f(t1,s2)
   - Lemma 2 f(s1,s2) GGS <-> max f(x,s2)<=min f(s1,y) 
     aufschreiben
   - gemischte Erweiterung Def
   - gemischte Erweiterung besitzt immer GGS, kurz 
     Beweisidee anreißen (max Gewinn, min Verlust --> duale 
     Aufgabe)


Note 2,3

Fazit 

Es werden mathematisch exakte Definitionen und Beweise
gefordert, d.h. Nebenbedingungen wie x>=0 o.ä. nicht
vergessen. Darauf wird sehr viel Wert gelegt, ebenso auf
korrekte mathematische Umformung (Bsp: transponieren). 
Ansonsten werden teilweise einfache(?) ja/nein Fragen
gestellt. Die Bewertung ist fair. 

= Datum der Prüfung: 13.10.2006

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung: 1-2 Wochen

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...): nur das
Skript

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer:
Beisitzer völlig unauffällig, Frau Popova fragt dafür recht
schnell hintereinander und hakt oft ein

= Prüfungsfragen:
1. Transportaufgabe modellieren (die 4 Bedingungen)
2. Existiert eine Lösung? Wie erkennt man, daß es eine ist?
Beweisen Sie ihre Antwort! (=> Charakterisierungsatz
aufschreiben, Beweis einer Richtung anreißen)
3. Wie leitet man die Optimalitätsbedingungen (x_ij =/= 0 =>
u_i + v_j = c_ij ; x_ij = 0 => u_i + v_j <= c_ij) her?

Sprung zur Hilfsaufgabe:
4. Wie schaut sie formal aus?
5. Existiert immer eine Lösung?
6. Bekomme ich immer einen zul. Basispunkt für die
ursprüngliche Aufgabe?

Sprung
7. Was versteht man unter der "Güte der Abschätzung"? Wie
leitet man diese her? (=> Dualitätsprinzip, cTx <= bTy)

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Die Prüfung verlief etwas unerwartet, weil hier steht, daß
sonst die Hilfsaufgabe nie drankam. Darauf kann man sich
aber offensichtlich nicht verlassen, es hilft nichts, man
muß ALLE Kapitel können. Spiele kamen bei mir z.B. gar nicht
dran.

= Datum der Prüfung
13.10.05
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
2 Wochen
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
nur Skript
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Beisitzerin hat nichts gesagt. Die Atmosphäre war 
entspannt. 
= Prüfungsfragen
erstes und letztes Kapitel komplett: Ecke, Polyeder, 
Charakterisierung, Hauptsätze; Spieltheorie
= Note (Optional)
1.0
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung 
etc...)
hat Spass gemacht. Man sollte die Sätze exakt mit Vor und 
Beh wissen. Wenn man dann noch die Beweisideen kann, gibts 
eine 1. Sie hat keine gemeinen Fragen gestellt. Wenn man 
selbst die Stuktur der Vl weiss (welche Def zieht welchen 
Satz nach sich, der wofür wichtig ist?), dann kann man die 
Prüfung auch dahin lenken, was man kann.

Datum der Prüfung: 30.07.07

Benötigte Lernzeit als Empfehlung: 1 Woche

Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...):
Da ich kaum in der Vorlesung war, musste ich mir einige
andere Bücher besorgen. In der Vorlesung kamen zum Beispiel
die Themen Gomory-Schnitte und Ellipsoidmethode dran, die im
Skript nicht ausgeführt sind. Besonders hilfreich war mir
dafür das Buch "Understanding and using linear programming"
von Gärtner und Matousek. Sehr zu empfehlen! Es ergänzte
auch die Zwischenkommentare, die Popova in der VL erzählt
(oder auch nicht, ich weiß ja nicht), aber im Skript nicht
stehen. 

"Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer:
Sehr entspannt. Popova sagt auch viel, was man einfach nur
abnicken braucht :)
Beisitzerin war Frau Kämpfer. Sie trat bis auf am Anfang für
die Formalitäten nicht in Erscheinung.

Prüfungsfragen:
1. Spieltheorie
Zunächst Definitionsabfragen: Spiel, Gewinnfunktion,
Situation, annehmbar, GGS, antagonistisch
Gibt es immer eine GGS? In welchen Fällen gibt es eine?
Lemma 1 und Lemma 2 nennen. Def. gemischte Erweiterung,
Hauptsatz über Matrixspiele nennen und Beweisidee anreißen.

2. Hilfsaufgabe
exakt aufschreiben, warum ex. immer eine Lösung? Die zwei
Fälle v=0 und v > 0 erläutern.

3. Gomory-Schnitte
Was ist das? Wofür gebraucht? Was wird dabei abgeschnitten
und was nicht? Schnittgleichung herleiten.

Note: 1,0

Fazit:
Faire Benotung :) Popova meinte, dass meine Antworten nicht
aus der Pistole geschossen kamen, jedoch hat sie mit mir an
diesem Tag die schwerste Prüfung gemacht, weswegen die Note
berechtigt ist. Das Thema Gomory-Schnitte ist auch nicht
sehr angenehm gewesen, jedoch soll ich einer der wenigen
gewesen sein, der die Übungsaufgabe richtig gemacht hat,
weswegen sie mich zu diesem Thema befragt hat.
Ansonsten kann man sich paar kleine Fehler erlauben, wie
Indizes oder dergleichen. Diese werden dann einfach von ihr
korrigiert.

= Datum der Prüfung
02/2008

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
1-2 Wochen, je nach Vorbereitung

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Skript und ein paar Bücher zum Thema, um evtl. Unklarheiten
zu beseitigen, Prüfungsprotokolle

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
sehr entspannte, ruhige Atmosphäre

= Prüfungsfragen
1. Thema: Transportaufgabe
- Definition KTA
- Warum immer eine Lösung? (erster TP mit NW-Ecken-Regel)
- Vorteile gegenüber Simplex (Anzahl Variablen, ganzzahlig)
- duale TA
- Charakterisierungssatz mit Beweis
- Optimalitätskriterium (ableiten aus Satz)
- Variationen (Über-/Unterproduktion, Streckensperrung,
Kapazitätsbeschränkung - Komplementaritätssatz, Erweiterung
des Charakterisierungssatz)

2. Thema: Spieltheorie
- antagonistisches Spiel
- GGS / annehmbare Situation
- Lemma 1 mit Beweis
- Lemma 2
- gemischte Erweiterung
- Haupsatz Matrixspiele, Beweis konnte aus zeitgründen nicht
geführt werden

= Note (Optional)
1,0

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Hat man erstmal die Essenz aus dem Skript herausgearbeitet
(Tipp: eigenes Skript->bessere Übersicht), ist das Thema
ganz gut erfassbar und lernbar. Definitionen und essenzielle
Beweise (die hier in den PP aufgeführten und die in der
letzten VL gennannten) genau lernen und können. Frau
Popova-Zeugman ist eine sehr angenehme Prüferin!

= Datum der Prüfung
  
  22.02.2008

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
  
  1-2 Wochen (Bei mir war es nur eine Woche, aber den Stress
  würde ich mir nicht machen)

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)

  Mir haben das Skript und die Mitschriften aus Übung und VL
  gereicht.

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer

  Beisitzerin Frau Kämpfer. Diese hat wie immer nur den
  offiziellen Teil übernommen. Ansonsten ruhige, sehr nette
  Atmosphäre.

= Prüfungsfragen
  
  Kapitel 1 
  - Was ist eine Optimierungsproblem?
  - Wann ist es linear?
  - Was für eine Menge ist M?
  - Wie wird der Schnitt von endlich vielen abgeschlossenen
    Halbräumen genannt? (Konvex Polyeder)
  - Satz 1 - Beziehung zwischen konv. Polyeder und
    Lösungsmenge von LOA nennen und beweisen.
  
  letztes Kapitel
  - Was ist ein antagonistisches Spiel?
  - Was wissen wir über GGS bei antagonistischen Spielen?
    -> Lemma 1 und Lemma 2 nennen
  - Was machen wir wenn wir keine GGS für ein
    antagonistisches Spiel haben?
    -> gemischte Strategie und gemischte Erweiterung 
       betrachten
  - Satz über GGS bei gemischten Erweiterungen nennen

= Note (Optional)
  1.3

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)

  Frau Popova ist wirklich mit eine der beste Prüferin. Sie
  ist super fair und unterstützt wo sie nur kann. Allerdings 
  müssen die Definitionen schon sitzen, sonst fehlt einem 
  die Grundlage die Hilfe auch in Anspruch zu nehmen. 

= Datum der Prüfung
9.10.2009
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
10-14 Tage, da am besten soll man ins Detail lernen und alees verstehen
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Der Script zur VL.
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Atmosphäre war sehr gut. Die Beisitzerin hat nur die offizielle Teil übernommen. Als ich weiter nicht kannte, hat mir Frau Popova immer geholfen und war sehr freundlich. Hat ziemlich viel selbst erklärt.
= Prüfungsfragen
-TA:
Formulieren, modellieren
Warum hat immer eine Lösung?
Wie viele NBV hätte Transportaufgabe, falls wir die mit Simplexmethode gelöst hätten? (m+n-1)
Wie viele Variablen hat die TA insgesamt? (mn)
Wie verbessert man ein Transportplan? (Charakterisierungssatz der LO mit Beweis Hinrichtung)
Dabei kamen die Fragen über Dualität.
Kriterium zum Optimalität von x?
Wie leitet man dieses Kriterium ab?
-Parametrische Optimierung:
Modellieren
Die Idee wie man die Lösungen findet.
Warum gibt es endlich viele charakteristische Punkte?
Dann kam die Frage zum LOA allgemein: warum ist immer x>=0?
= Note (Optional)
2.0
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Um dieses Prüfung gut zu bestehen, muss man wirklich alles verstehen und präzis aufschreiben können. Frau Popova hilft wenn es nötig ist. Die Benotung ist sehr fair. Die meisten von kleine Fragen fiel mir schwer und ich dachte, dass es schlimmer wird.

= Datum der Prüfung
30. Juli 2010

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
Abhängig von den bekannten mathematischen Grundlagen. Wir haben in unserer Gruppe intensiv
(sehr intensiv!)  2.5 - 3 Wochen gelernt. Jedoch mussten wir auch viele mathematische
Grundlagen der Algebra und des Beweisens wiederholen.

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
* Skript (an sich ausreichend, aber einige Beweise fehlen, zudem kann man über einige Fehler
stolpern)
* Bernd Gärtner (Autor), Jiri Matousek (Autor) - Understanding and Using Linear
  Programming (Universitext) (vermittelt einige Grundlagen etwas verständlicher, bietet
  eine nette Einführung in die Ellipsoidenmethode)
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Frau Dr. 	Popova-Zeugman ist eine ungemein nette und angenehme Prüferin. Bei kleinen
Leichtsinnsfehlern hilft sie durch Rückfragen und Nachfragen zu etwaigen Unklarheiten
führen an sich auch nicht zum Punktabzug.

= Prüfungsfragen
Spieltheorie komplett
* Strategie
* Situation
* Spieler
* Spiel
* annehmbare Situation, GGS
* antagonistisches Spiel, erwähnen der Charakterisierung von GGS
* Matrixspiele
* Gemischte Erweiterung
* Vollständiger Beweis des Hauptsatzes über Matrixspiele (was für mich durchaus
    überraschend kam. Dieser ist aber an sich nicht umfangreich, der Nachweis der Dualität
    innerhalb des Satzes wurde in der Prüfung ausgelassen, da offensichtlich ;))

Die zweite Frage richtete sich auf die Hilfsaufgabe
* Was ist die Hilfsaufgabe
* Wozu braucht man sie
* Wieso gibt es immer einen ersten Basispunkt, welcher ist das
* Wieso gibt es immer eine Lösung, unterscheide v = 0 und v > 0

= Note (Optional)
1.0
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Ich hatte selten so einen Spaß innerhalb einer mündlichen Prüfung. Frau Popova-Zeugman ist
sehr zuvorkommend und hilft soviel sie kann.

= Datum der Prüfung
2012
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
min. 3 Wochen
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Vorlesungsmitschrift, Skript von Frau Dr. Popova-Zeugmann
= \"Atmosphäre\" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
sehr ruhig und angenehm, keine \"gemeinen\" Nachfragen, klare Formulierung der Fragen, keine überraschenden Fragen (Prüfungsfragenkatalog der VL)
= Prüfungsfragen
*klassische Transportaufgabe
- Def (zunächst informal erklärt, dann formal)
- Warum immer lösbar? NOWE-Regel, min-Aufgabe nach unten durch Null beschr.
- Lösen der dualen Aufgabe, Charakteristischer Satz mit Beweis, Verbessern des Transportplans mit Zyklus (nur sagen), Anzahl der Elemente gerade oder ungerade? gerade
- Überproduktion, Streckensperrung, wie lösen?
- Kapazitätenbeschränkung: LOA aufgeschrieben, wie viele Gleichungen stecken in x<=k? n*m, Char. Satz (ohne Beweis, hätte ich aber gekonnt ;))

*Schnitte
- Relaxation erklärt
- allgem. Schnitt
- Berechnung Gomory-Schnitt
- wie zeigt man, dass x* nicht mehr im Gomory-Schnitt ist, aber die urspr. Restriktionsmenge nicht verloren gegangen ist? Kurz mündlich erklärt
= Note (Optional)
1.0
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Sehr fair, das schaffst Du auch! Viel Erfolg!

= Datum der Prüfung
30. Juli 2012
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
Eine Woche reichte, aber das hängt davon ab, wie gut man der Vorlesung folgen konnte. Zwei Wochen sind sicher vernünftig.
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Das Skript und Vorlesungsaufzeichnungen. Außerdem eine Zusammenfassung aller Definitionen und Beweisideen, auffindbar unter http://informatik.hu-berlin.de/~weber/linopt.pdf
= \"Atmosphäre\" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Die Beisitzerin hat nur die Identität geprüft und Protokoll geschrieben. Die Prüfung war klassisch mit Frage-Antwort und Hilfestellung, wenn die Antwort nicht vollständig war oder ein Beweis Probleme machte.
= Prüfungsfragen
Transportaufgabe
- Definition (informal und formal)
- existiert immer eine optimale Lösung?
- wie kommt man auf das Optimalitätskriterium
  * dabei die Aussage des charakteristischen Satzes der linearen Optimierung aufschreiben (nicht beweisen)
  * Herleitung der beiden Optimalitätskriterien aus diesem Satz
- dasselbe für die Transportaufgabe mit Kapazitätsbeschränkungen 
  * Komplementaritätssatz aufschreiben (mit Beweis, wobei für die ersten drei Bedingungen der Verweis auf den Beweis des charakteristischen Satzes ausreichte; allerdings konnte ich für die vierte Bedingung nur die offensichtliche Richtung, die aus dem primalen Problem hervorgeht; da hat mir Frau Popova dann viel geholfen)

Hilfsaufgabe
- für eine allgemeine LOA in Gleichungsform die Hilfsaufgabe definieren
- gibt es immer eine Lösung?
- was bedeuten die beiden Fälle v=0 und v>0 für das Originalproblem?
- warum reicht es aus, wenn die Summe der Schlupfvariablen Null ist?

= Note (Optional)
1.0
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Ich bin natürlich glücklich mit der Note. Ich fand\'s schön, dass es Frau Popova wichtig war, dass ich verstehe wie sich die vierte Bedingung des Komplementaritätssatzes beweisen lässt, ohne dass das zu einem Abzug geführt hätte.

= Datum der Prüfung: 29.07.2016
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung: Habe im Semester die Hälfte der Übungsaufgaben gemacht und knappe zwei Tage gelernt. War nicht gerade viel, aber gerade genug zum Bestehen. 
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...): Skripte online, Übungsaufgaben, "Google"
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Ganz normale schriftliche Prüfung
= Prüfungsfragen

1. Aufgabe:
- Ein paar allgemeine Fragen über LOAs, Basispunkte, -matrizen, etc. Kann mich leider nicht an genaue Fragen erinnern.

- Ein LOA inkl. Gomory-Schnitt lösen.

2. Aufgabe:
- Drei gegebene Funktionen einordnen, ob sie Ordnungen, linear, homogen sind oder konstante Koeffizienten haben
- Anfangswertproblem lösen: xy' + y = 4x^3 - 2x^2 mit y(1)=3

3. Aufgabe:
- absolute und relative Kondition zu f(x) = x^2 und g(x) = (x^2) - 1
- Newtonverfahren anwenden und das exakte Ergebnis berechnen

4. Aufgabe:
- Jacobi-Verfahren auf eine A*x = b - Gleichung

5. Aufgabe:
- Trapezregel für 1er-, 2er- und 4er-Intervalle
- Simpsonsregel auf die gleiche Funktion und das exakte Ergebnis berechnen

6. Aufgabe:
- Aufgabe zu totalen, bedingten, etc. Wahrscheinlichkeiten: 
In einem Unternehmen machen 60% der Frauen Sport und 80% der Männer. Das Verhältnis ist 3:2 (Männer:Frauen).
zB. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Angestellter Sport macht? oder Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Angestellter, der Sport macht, weiblich ist?

7. Aufgabe:
- Kann mich nicht mehr so gut erinnern, aber man musste Erwartungswerte und Varianzen ausrechnen, Wahrscheinlichkeitsmodelle zuordnen (Poisson, Binomial, etc.).
- Zeige P(|Xi| >= 2) <= 1/4 mit E(Xi) = 0 und Var(Xi) = 1
- Irgendwas noch mit einer Verteilfunktion standardnormalverteilt :D

= Note (Optional): 3.3
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
War schon okay, mit mehr Lernen springt ne akzeptable Note raus.

= Datum der Prüfung
14. Oktober 2016 (Nachklausur)


= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
Ich habe mich etwas mehr als 3 Wochen vorbereitet.


= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Skript von Frau Popova und Herrn Kössler, Mitschriften aus der Übung, auch viel Internet


= Prüfungsfragen

AUFGABE 1
---------

a) Beantworten Sie die folgenden fragen mit Ja/Nein/Weiß nicht.
- Gegeben eine LOA max{ <c,x> | Ax=b, x>=0 }. Sei A_B eine Basismatrix, sodass (A_B|A_N) = A und x ein zü A_B gehöriger Basispunkt. x liegt im Restriktionsbereich der LOA. _______
- Die Hilfsaufgabe ist immer lösbar. _______
- Sei P max{ <c,x> | Ax=b, x>=0, x aus Z } ein ILP und P* seine Relaxation. Sei x1 eine Lösung für p und x2 eine Lösung für P*.
<c, x1> >= <c, x2> _______
<c, x1> <= <c, x2> _______

b)Bilden Sie die duale LOA zu ...

c) Lösen Sie das folgende ILP ... Benutzen Sie wenn nötigt Gomory-Schnitte. [Es ist nötig.]

AUFGABE 2
---------

a) Gegeben 3 Differenzialgleichungen. Geben Sie folgende Eigenschaften der DGLs an:
Ordnung, Linear (ja/nein), Konstante Koeffizienten (ja/nein), homogen (ja/nein).

b) Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem: xy'+3y = x^3+4x, y(1) = 1/6.

AUFGABE 3
---------

a) f(x) = x^2 + sin(x)
Absolute Kondition: ____________
Relative Kondition: ____________
Ist die Abbildung für x -> 0 gut konditioniert? Ja/Nein/Weiß nicht.

b) Wenden Sie das Newtonverfahren auf f(x)=x^2+2 an. Startwert ist 2.

(Iterationsvorschrift aufschreiben)
x_(n+1) = ______________________

(3 Schritte ausführen)
x_0 = 2
x_1 = _______
x_2 = _______
x_3 = _______

Exaktes Ergebnis: ___________

c) f(x) = sin(x). Berechnen Sie die Fläche von f(x) im Intervall [0, pi] mit
der Trapezregel und Simpsonregel mit jeweils 1 bzw. 2 Intervallen.
Trapezregel  1 Intervall : _______
Trapezregel  2 Intervalle: _______
Simpsonregel 1 Intervall : _______
Simpsonregel 2 Intervalle: _______
Exaktes Ergebnis:  _______

d) Regressionsgerade durch die Punkte (0, 3), (1, 2) und (3, 6)
mit der Methode der kleinsten Quadrate finden.

AUFGABE 4
---------

A: Ein Sportler hat gedoped.
B: Ein Sportler wurde positiv auf Dope getestet.
P(A|B) = 0.9999 (Wkt. dass ein Sportler gedoped hat, wenn er positiv getestet wurde.)
P(~A|~B) = 0.999 (Wkt. dass ein Sportler nicht gedoped hat, wenn er negativ getestet wurde.)
P(B) = 0.001

Berechne:
P(A) (auf 3 Nachkommastellen genau.)
P(B|A) (auf 3 Nachkommastellen genau.)
P(B|~A) (als Bruch, obere und untere Seite auf 3 Nachkommastellen genau.)

b) Eine Bibliothek hat 10^6 Bücher. Im Laufe des Jahren verschwinden (unabhängig voneinander) Bücher. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Buch, dass es verschwindet ist q = 0.0001.
Geben Sie ein Modell an: X ~ ________________
Berechnen Sie P(X>=110): ________________
(An die letzte Teilaufgabe kann ich mich nicht erinnern.)

4c)
............{ 1/25 + 1/5 für -5 <= x <= 0
Sei f(x) = { -1/25 + 1/5 für 0 < x <= 5
............{ 0 sonst.

Zeigen Sie, dass f eine Dichtefuntion ist.
Berechnen Sie den Erwartungswert EX: __________
Berechnen Sie die Varianz Var(X): _____________
Berechnen Sie P(-2 <= X <= 1): ________________


= Note (Optional)
1.3


= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Die Zeit war mir persönlich ein bisschen knapp und man musste auch recht viele Rechenschritte tun, bei denen man sich verrechnen konnte. Aber das waren dann am Ende zum Glück nur Folgefehler. Es kam viel dran, es kam ja auch im Semester viel dran, aber das was dran kam war auf jeden Fall zu machen!

= Datum der Prüfung
31.07.2017

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Skript von Popova-Zeugmann

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Popova-Zeugmann versucht einem immer zu helfen und lässt einem Zeit zum Nachdenken. 
Kommt man nicht weiter, so gibt sie Denkanstöße.

= Prüfungsfragen
Was ist eine Optimierungsaufgabe?
Was macht eine Optimierungsaufgabe linear?
Was ist eine konvexe Menge?
Was ist ein konvexes Polyeder?
Wieso ist ein konvexes Polyeder konvex? (Polyeder ist Schnittmenge von endlich vielen ABGESCHLOSSENEN Halbräumen)
Was sind abgeschlossene Halbräume?

Definition von Ecke + äquivalente Definitionen angeben (Menge der aktiven Restriktionen)
Polyeder M enthält Ecke gdw. Polyeder M keine Gerade enthält
-- SEHR WICHTIG: Lernt am besten die Definitionen eins zu eins wie sie im Skript stehen und achtet auf die Voraussetzung. Zum Beispiel darf das Polyeder M
nicht leer sein. Habe ich vergessen zu erwähnen und sie hat sofort nachgehakt. Ist nicht schlimm, macht aber besseren Eindruck bei ihr (sie achtet sehr darauf).

Worauf basiert die Idee der Simplexmethode? Sie wollte auf Satz 1 hinaus (Sei M der Restriktionsbereich, S die Lösungsmenge der LOA. Ferner besitzt M eine Ecke
und S ist nicht leer. Dann existiert eine Ecke x in M, sodass x auch in S ist.) Anschließend Beweis aufschreiben. Bei kleinen Ungenauigkeiten hilft sie.

Dann Themenwechsel: Dualität. Sie hat ein LOA vorgegeben (keine konkreten Werte sondern allgemein mit Ax=b, etc). Dazu die duale Aufgabe aufschreiben.
Wozu braucht man Dualität?
Letzte Frage: Kann man eine LOA auch als Ungleichungssystem darstellen? (siehe 3.Anhang Ellipsoidenmethode, Seite 3 https://www2.informatik.hu-berlin.de/~popova/SS17_SSL/manuskript-ellipsoidenmethode.pdf)

= Note
2,0 (hatte einige Schwierigkeiten und Popova Zeugmann musste mir an paar Stellen aushelfen, hatte einige Details falsch, Beweisidee etc konnte ich selber
herleiten), insgesamt ist das Ergebnis fair. Wenn man sich wirklich darauf vorbereitet, sollte man keine Angst vor der Prüfung haben.

= Prüfung vom 28.07.2017
= Nur ein Tag - alles wichtige durchgehen und guten Spicker schreiben ;)
= Skript, Übungsblätter
= Prüfung lief ruhig und entspannt ab

= Prüfungsfragen:

Aufgabe 1.1 (8 Punkte)

Gegeben war:
LOA: (P) max{<c,x>|Ax = b, x >= 0}
x,c aus R^n und b aus R^m mit n>=m und Matrix A aus R^{m kreuzt n} mit Rang(A)=m

Man musste zu acht Aussagen schreiben, ob sie wahr sind oder nicht oder man setzt ein Kreuz, falls man es nicht weiß.

a) (P) hat immer mind. einen zulässigen Basispunkt.

b) Falls der Punkt x = (x_B, x_N) ein zul. Basispunkt ist, so enthält die Simplextabelle m Nichtbasisvariablen.

c) Die Nichtbasisvariablen eines zul. Basispunktes sind immer 0.

d) Jeder optimale Punkt einer LOA ist immer ein zul. Basispunkt.

e) Die Hilfsaufgabe besitzt immer einen optimalen Punkt.

f) Bei Simplex mit lixikographier Simplexmethode ist die Pivot-Spalte eindeutig bestimmt.

g) gleiches wie f) nur mit Pivot-Zeile

h) Hat eine min-LOA min{<c,x>|Ax=b, x>=0} eine duale LOA?


Aufgabe 1.2 (6 Punkte)

LOA gegeben:

max{x2-3x3|Bedingungen}
mit Bedingungen:
x1 + 3x2 + 2x3 <= 17
x1 + x3 >= 20
x1, x2, x3 >= 0

Aufgabe: Duale LOA angeben.


Aufgabe 1.3 (14 Punkte)

LOA gegeben:

max{5x1+2x2|Bedingungen}
mit Bedingungen:
2x1 + 3x2 + 4x3 <= 17
x1, x2, x3 aus Natürliche Zahlen

Aufgabe: Simplexalgorithmus durchführen und ggf. mittels Gomory-Schnitte


Aufgabe 2.1 (8 Punkte)

Gegeben waren folgende Differenzialgleichungen:

a) 7x^3 * y + x * y'' = e^x + 2
b) y' = (x*y^3)/sqrt(1+4x^2)
c) 7y'' + 2y'''  5y + 2 = 0

Aufgabe:
In eine Tabelle für jede Gleichung eintragen: welche Ordnung, ob linear, konstante Koeffizienten, ob homogen


Aufgabe 2.2 (14 Punkte)

Differenzialgleichung lösen:

y' = (1-y)/(1+x) und y(1) = 2


Aufgabe 3.1 (3 Punkte)

Gegeben: f(x) = sin(x)

Aufgabe: absolute und relative Kondition bestimmen und Grenzwert bestimmen für
lim x->0 für K_rel(x)


Aufgabe 3.2 (5 Punkte)

Mit Newtonverfahren eine Nullstelle von
f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x -1 = (x-1)^3
berechnen mit Startwert = 3/2.
Drei Iterationen und Formel für x_{n+1} angeben.
Danach noch Exakte Lösung angeben (man sieht dass es gegen 1 läuft, und 1 ist offensichtlich auch richtig)

Aufgabe 3.3 (5 Punkte)

LGS mit Jacobi-Verfahren lösen und exakte Lösung angeben.
Drei Iterationen. Und auch Formel für x_{n+1} angeben.

Gleichung: Matrix(obenlinks: 1/3, obenrechts: 0, untenlinks: -1, untenrechts: 3) * x = (oben: 1, unten: 0)
Startwert: x_0=(oben: 0, unten: 0)


Aufgabe 3.4 (5 Punkte)

Regressionsgerade bestimmen, die durch Punkte
(-2,0),(-1,2),(0,3),(1,4),(2,6) geht.

Irgendeine Splinefunktion angeben mit den Knoten in:
(t0, t1, t2, t3) = (-2, -1, 1, 2)

(3 Zusatzpunkte) Natürliche Splinefunktion angeben mit Knoten in:
(t0, t1, t2, t3) = (-2, -1, 1, 2)


Aufgabe 3.5 (7 Punkte)

Gegeben: Integral bestimmen mit untere Grenze=0, obere Grenze=1 von x^3

mit Trapezregel in 1, 2 und 4 Teilintervalle.
mit Simpsonregel, nur Intervall [0,1] + Exakte Lösung.


Aufgabe 4.1 (4 Punkte)

1000 Sportler, 700 Leichtathleten, 200 Radsportler und 100 Schwimmer. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Leichtathlet gedopt ist sei 0.6, bei einem Radsportler 0.9 und bei einem Schwimmer 0.3.

Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein Sportler gedopt ist.

Angenommen ein Sportler ist gedopt. Wahrscheinlichkeit angeben, dass der Sportler Radsport macht.


Aufgabe 4.2 (4 Punkte)

Wahrscheinlichkeit berechen für:

Dreimal Würfeln. Größte der drei Augenzahlen soll genau drei sein.

Wahrscheinlichkeit angeben, dass in einer zehnstelligen Telefonnummer jede Ziffer genau einmal vorkommt.


Aufgabe 4.3 (6 Punkte)

Geeignetes Modell finden für:

Es werden nacheinander auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte Zufallszahlen erzeugt. Sei X die zufällige Anzahl der Versuche bis erstmals eine Zufallszahl erscheint, die größer als 0.8 ist.

Aus langjährigen Beobachtungen ist bekannt, dass die Anzahl der Zuschauer bei einem Fußballspiel der Mannschaft 1. FCU im Mittel 20000 ist. Sei Y die zufällige Anzahl der Zuschauer im 1. Spiel der neuen Saison.

Es werden 20 mal zufällig Zahlen aus der Menge {1,..., 49} gezogen. Sei Z die zufällige Anzahl des Auftretens der Zahl 1.


Aufgabe 4.4 (7 Punkte)

Partielle Funktion gegeben:

f(x) = (1/2) * sin(x) falls x aus [0, pi] sonst 0

Aufgabe: Zeigen, dass f(x) Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X ist. Außerdem Erwartungswert und Varianz berechnen.


Aufgabe 4.5 (4 Punkte)

X_1 , X_2 , ... , X_1200 sind unabhängige gleichverteilte Variablen auf dem Intervall [0,1].

Wahrscheinlichkeit berechen für Ereignis A = {Summe von i = 1 bis 1200 von X_i > 620}.

Hinweis: var(X_i) = 1/12 und phi(2) = 0.9772 wobei phi die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariable ist.

= Note: Mittelmäßig gut bestanden
= Fazit:
Hat man die Übungsaufgaben zu Simplex ausführlich und fehlerfrei gemacht, ist der Teil von Popova einfach zu schaffen.
Für den Teil von Kössler ist es von Vorteil, sich die ganzen Algorithmen auf den Spickzettel aufzuschreiben, sowie die Modelle aus dem Skript.
An sich war die Prüfung sehr einfach machbar, jedoch kann es schnell an kleinen Fehlern scheitern, da z.B. allein Aufgabe 1.3/2.2 einfach jeweils 14 Punkte bringen.
Man kann sich auch in kurzer Zeit vorbereiten, deswegen keine Panik, aber eine Woche dürfte vollkommen reichen.

12.10.2018
War mein dritter Versuch. Ich habe dementsprechend 4 Wochen gelernt+ plus die Lernzeit für den zweiten Versuch vorher.
1 Woche reicht um zu bestehen. Für mehr Punkte 2-3 Wochen
Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...): Übungsblätter, LOA/DGL Aufgabenpool von der Webseite, Skript
"Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer: Lief alles entspannt und ruhig ab. Die Zeit von 90min ist schon sportlich, wenn man LOA und DGL und Simpson/Trapez Regel nicht im Schlaf kann. Dann fressen die Zeit.
= Prüfungsfragen:
Ich habe die genauen Aufgaben nicht mehr im Kopf, liste aber mal die Themen die ran kamen

1 Aufgabe (20P)
a) absolute und relative Kondition von einer Funktion. Ich glaube das war f(x) = x^4
b) lineare Regressionsfunktion bestimmen mit 5 gegebenen Punkten
c) weiß ich nicht mehr

2 Aufgabe (23P)
a) duale LOA bestimmen
b) LOA berechnen und falls nötig, zuerst Hilfsaufgabe lösen (es war natürlich nötig)

3 Aufgabe (20P)
a) Simpsonregel mit 1,2,4 Intervallen und Trapezregel mit 1 und 2 Intervallen und exakten Integral bestimmen von x^2 im Intervall [0,4]
b) Eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe mit 3x würfeln.
   b1) Wahrscheinlichkeit berechnen das min. eine 6 kommt
   b2) Wahrscheinlichkeit dass bei allen 3 Würfen die Augenzahl max 5 ist
c) Eine Stochastik-Aufgabe. Die weiß ich nicht mehr

4 Aufgabe (17P)
Differenzialgleichung 1.Ordnung, linear, inhomogen berechnen und AWP von y(0)=2
 
y`(x^2-1)+3(x^4-1)y+1/(e^x^3) = (e^x^3) * (x^2-1)

= Note: gab noch keine Ergebnisse
= Fazit: Absolut machbare Prüfung. Die DGL ist etwas nervig und sieht erstmal komplex aus. Aber wie bei allen DGL aus allen Prüfungen die ich bisher gesehen hab: Erstmal umstellen und vereinfachen.
Wie ihr seht, sind die Punkte für einzelne Aufgaben schon echt heftig. Daher muss bei euch LOA und DGL und Simpson/Trapez sitzen. Und am besten wie im Schlaf, damit ihr mit der Zeit klar kommt. Bisher war bei allen Prüfungen der DGL und LOA Teil ausreichend um zu bestehen. Dann noch Simpson/Trapez und ihr seid sicher durch. Viel Erfolg

Ergänzung zu meinem vorherigen Protokoll vom 12.10.2018

Die richtige DGL war:
y`(x^2-1) + 3(x^4-1)y - (1/(e^x^3))*(x^2-1) = (x^2-1)

= Datum der Prüfung
22.02.1019

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
2 Wochen

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Das Vorlesungsskript

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Sehr angenehm. Frau Zeugman ist sehr freundlich und hilfsbereit. Sie hat Interesse daran, dass man gut durch die Prüfung kommt

= Prüfungsfragen
Zum Transportproblem:
-Formulieren sie das Transportproblem
-Wie sieht sie Matrix der zugehörigen LOA aus?
-Welchen Rang hat die Matrix?
-Wie viele Variablen hat die LOA?
-Wie erkennt man, ob ein Transportplan optimal ist?
-Charakterisierungssatz der Linearen Optimierung formulieren und beweisen.

Zur Spieltheorie:
-Wie sind Spiele definiert?
-Lemma 1
-Hat jedes Spiel eine Gleichgewichtssituation?
-Wie kann man prüfen, ob ein Spiel eine Gleichgewichtssituation hat? (Lemma 2)
-Gemischte Erweiterung definieren?
-Hauptsatz über Matrixspiele: Beweisidee

= Note (Optional)
1.0

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Man kann gut für die Prüfung lernen, wie man an den Protokollen sieht, kommen fast immer die gleichen Fragen (so viel Auswahl gibt es ja auch nicht). Wenn man keine Scheu vor Mathematik hat ist das Fach auf jeden Fall eine einfache Möglichkeit eine sehr gute Note bekommt. 

= Datum der Prüfung
  25.02.2019

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung:
  zwei volle Wochen, wenn man der Vorlesung gut folgen konnte

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
  Skript, Prüfungsvorbereitung-Zusammenfassung aus älterem Prüfungsprotokoll, Übersicht der Prüfungsfragen

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
  sehr nett, Frau Popova beginnt direkt nach den Formalia, Beisitzer freundlich und nimmt nicht Teil an Prüfung

= Prüfungsfragen
  1)Transportaufgabe:
    Definition informal und formal, klassische TP -> Bilanzgleichung
    Wie sieht Matrix A aus? Welchen Rang hat sie? -> rg(A) = m+n-1, ohne Beweis
    Hat TA immer eine Lösung? -> Ja, da NW-Ecken-Regel immer ersten Transportplan, also ersten zul. BP, bringt und die min-LOA nach unten beschränkt ist
    Ist bei ganzzahligen Eingaben das Ergebnis auch ganzzahlig? -> Ja, weil wir die Duale lösen
    Wie sieht die Duale aus? -> sie wollte auf u_i+v_j = c_ij heraus
    Beweise Satz, der uns zum Optimalitätskriterium führt -> beide Richtungen, aber Opt.kriterium für die TA nicht mehr herleiten
  2)Hilfsaufgabe:
    LOA (P) in Gleichungsform gegeben, also können wir nicht u's einführen, die uns helfen, was tun wir? -> Hilfaufgabe (H) nutzen
    Definition Hilfsaufgabe, warum reicht es die Summe der y_i zu minimieren? -> y_i >= 0, deshalb bei Summe y_i = 0 auch alle y_i = 0
    Hat die Hilfsaufgabe immer eine Lösung? -> Ja, wegen BP y = b in M_(H) und min-LOA nach unten beschränkt
    Was bedeutet v=0 und v>0? -> v=0: x ist BP von (P) (mit y = Nullvektor), v>0: M_(P) ist leer, da nicht alle y_i auf 0 minimierbar sind

= Note (Optional)
  1.0

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
  Sehr angenehme Prüfung, trotz einigen kurzen Hängern und vielen Unsicherheiten diese Note :) Wenn man nicht drauf kommt, was sie meint schreibt Frau Popova es einfach selbst auf, sie ist insgesamt sehr hilfreich

= Datum der Prüfung: 25.2.19
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...): Skript, Prüfungsfragen

= Prüfungsfragen:
Was ist Optimierung?
Wann linear?
Was ist ein konvexes Polyeder?
Was ist ein Halbraum? Wann abgeschlossen?
Definition Ecke für allgemeine konvexe Mengen
2. Definition für konvexe Polyeder: x hat Indexmenge maximal <-> x ist Ecke
Satz Lösungsmenge S enthält mind. eine Ecke von M zeigen
  zeigen S ist konvexes Polyeder -> hat Ecke x'
  zeigen x' ist auch Ecke von M (mit <c,x+-epsilon*u> = v)

Was ist ein Spiel?
Was ist eine Situation? (konnte ich nicht formal)
Was ist eine GGS?
Gibt es immer ein GGS?
Was ist mit antagonistischen Spielen?
Wie sieht ein erweitertes Spiel aus? (gemischte Erweiterung)
Wieso führen wir das aus? (um zu zeigen, dass ant. Spiel immer eine GGS hat, wenn sehr oft mal gespielt)

= Note (Optional): 1.0

= Datum der Prüfung
20.08.2020

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
Ich hatte nur eine Woche, zwei wären besser gewesen
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Das Skript

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Frau Kämpfer war Beisitzerin, hat aber nichts gesagt. Prüfung war über Zoom, man musste nichts aufschreiben, es ging nur ums erklären, Frau Popova hat die Prüfung sehr angenehm gestaltet

= Prüfungsfragen
Was ist Optimierung? Wann ist die Optimierung linear? Wie sieht M genau aus? Besitzt M einzelne Punkte oder Funktionen?
Was ist ein konvexes Polyeder? Ist jedes konvexe Polyeder konvex? Was ist ein Halbraum? 
Welche Sätze hatten wir für Ecken?
Warum können wir Simplexmethode nur über Ecken definieren?
Gibt es Lösungen die keine Ecken sind?
Satz 1, Beweis erklären, S genau beschreiben was für Werte sich darin befinden, wieso ist S ein konvexes Polyeder? Wie kriegt man <c,x>=v als Schnittmenge abgeschlossener Halbräume? Wie sieht das veranschaulicht aus? Aus wieviel mehr Halbräumen besteht S im Gegensatz zu M?

Wann ist die Transportaufgabe klassisch?
Findet die NW-Eckenregel eine Lösung?
Hat die klassische Transportaufgabe immer eine Lösung?
Wieso ist die Aufgabe beschränkt?

Wenn man ein Simplextableau fertig gelöst hat und feststellt man hat eine Bedingung vergessen, muss man dann nochmal von vorne anfangen?
Muss man es immer mit der dualen Simplexmathode lösen?

= Note (Optional)
2,3

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
angemessene Benotung, sie hilft viel nach und ist geduldig, hält sich sehr an die Zeitangabe von halber Stunde

AngMa Protokoll SS 20
= Datum der Prüfung   17.08.2020


Aufgabe 1

	1. Modifizierte einfache Iteration mit f(x) im Intervall I = [0,2] 
	(Funktion weiß ich leider nicht mehr)
	
	2. Wähle ß = -1/2 und betrachte g(x)  = ß*f(x) + x
		Zeige die Abbildung g(x) im Invervall [0,2] ist kontraktiv.



Aufgabe 2

a) 	Eine Figur zwischen den Zuständen Z_1 und Z_2. Für i,j > 1,2 sei 
		p_i,j = {1/3 falls i = j
			{2/3 falls i != j 
	Übergangswahrscheinlichkeit in einem Schritt von Z_i zu Z_j.
	
	Sei S_i das Ergebnis, das in Z_i startet und E_j, das nach einem Schritt in Z_j
	Weiter sei q_1 = P(S_1) = 5/6 und q_2 = P(S_2) = 1 /6
	
	1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit is die Figur nach einem Schritt in Z_1?
		P(E_1) =
	
	2. Angenommen 1. sei passiert, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie in Z_1 gestartet?
		PS_1|E_2) =



b)	f(x) = c * 	{sin(x) , falls x \in (0, pi)
			{0, sonst
	
	1. Bestimme Konstante c so, dass f(x) die Dichte einer Zufallsvariablen ist.
	
	2. Bestimme Erwartungswert X.
	
	3. Berechne die Wahrscheinlichkeit P(pi/4 < X < pi/2) = 

c) Modelle finden
	
	1. Zufällige Weite W, von einem Speerwerfer, wobei mittlere Weite 80 m beträgt
	
	
	2. Zufällige # Bildpunkte in einem 100x100 Quadrat, alle voneinander unabhängig und ein Punkt mit der 
	   Wahrscheinlichkeit 0,37 schwarz
	
	
	3. Zufällige Lebensdauer Y eines elektronischen Bauelements.
	
	
	4. # Würfe einer fairen Münze bis  Zahl vorkommt, bei unabhängigen Würfen.





Aufgabe 4
	(4x^2-1)y'-(16x^4-1)y = (8x+4)e^((4x^3+3x)/3) für x \in R 
	DGL lösen und Anfangswertproblem mit y(0) = 1 berechnen.
	


Ansonsten 
Natürlich Simplex-Alogrithmus, wobei eine Aufgabe war, die Duale Simplex aufzustellen
und bei der anderen sollte man den Simplex-Alogrithmus anwenden und falls nötig mit einer 
weitern Einschränkung nachoptimieren.
Trapez- und Simpsonregel berechnen war auch eine Aufgabe.

** x \in R bedeutet "x ist Element von den Reellen Zahlen"