= Datum der Prüfung
13.3.2008
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
-max. 1 Woche bei regelmäßigem Besuch der VL und
regelmäßiger Bearbeitung der Übungsaufgaben
-A4 Blatt mit Notitzen war erlaubtes Hilfsmittel
(man sollte sich allerdings nicht zu sehr drauf verlassen,
denn die Zeit war (zumindest für mich) sehr knapp bemessen)
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
VL-Script von Dr. Koessler
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Klausur - keine Probleme
= Prüfungsfragen
Aufgabe 1 - Modellierung und Anwendung ("Sachaufgaben")
-Anwendung zentraler Grenzwertsatz bzw. Moivre-Laplace, 
Binomialverteilung
-einfache Kombinatorik
-geometrische Verteilung (wie lang dauert es, bis ein 
Ereignis auftritt)

Aufgabe 2 - Rechnen mit Dichten und Verteilungen
gegeben Funktion f (auf 3 Intervallen jeweils 
unterschiedlich definiert)
-zeigen, dass f Dichte
-F (Verteilungsfunktion) ausrechnen, Erwartungswert 
ausrechnen
-ein paar Funktionswerte von F ausrechnen
-Zusatzaufgabe: Akzeptanzmethode zur Simulierung
(wieviele Zahlen sind im Mittel nötig?)

Aufgabe 3 - Vektor von 2 diskreten Zufallsvariablen
2 Zufallsvars X,Y gegeben - V=X+Y, W=X-Y
-Wahrscheinlichkeitstabelle des Vektors (V,W)
angeben (führte zu einer 5x5 Matrix)
-Erwartungswerte, Varianzen, Kovarianz, Korrelation
ausrechnen
-sind V und W unabhängig?
-wie kann man diese 2-dim Verteilung simulieren?

Aufgabe 4 - Transformation
-Transformationsformel (1-dim) anwenden (tan),
also Dichte ausrechnen
-Verteilungsfunktion ausrechnen

Aufgabe 5 - Die 1er Aufgabe
-eine Ungleichung für eine standardisierte Zufallsvar
zeigen - Anwendung der Ungleichung von Markov
-eine weitere Ungleichung (da weiß ich nicht, wie man die
zeigen sollte)

= Note (Optional)
weiß ich noch nicht ...
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Im Gegensatz zu den Übungsaufgaben waren die Aufgaben hier 
nicht so "schön" zu rechnen. Es gab sehr viele Stellen wo 
man sich gut verrechnen/vertun konnte. Die vorgegebene 
Dichte bei 2. führte zu einer Verteilungsfunktion, bei der 5
Fälle unterschieden werden mussten. Die 5x5 Matrix bei 3. 
war auch nicht ganz so handlich, wie man das aus den Übungen
gewohnt war. Ansonsten kam genau das von Dr. Koessler 
angekündigte auch in der Klausur vor. Das Ganze allerdings
auf einem sehr gehobenen Niveau mit sehr wenig zur
Verfügung stehender Zeit.

= Datum der Prüfung
10.11.09

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
zwei Wochen, wenn man nich ganz im Thema is, ansonsten reicht wohl eine.
= Verwendete Materialien
Das Skript/ die Folien sind ziemlich gut. Wichtig sind auf jeden Fall die Definitionen/Sätze = die Beweise und ähnliches kommen nich ran. Prüfungsfragen
= Note 3.3 (danke Herr Koessler)
= Fazit 

Sympatischer Prüfer - wie eigentlich alle. 
An zukünftige Prüflinge kann ick nur sagen, haltet euch zurück - es läuft!

Bis denne
Henrik

18.07.2012 = Datum der Prüfung

14 Tage (wer die Vorlesung regelmäßig besucht ist KLAR im Vorteil) = Benötigte Lernzeit als Empfehlung

Skript + diverse Bücher= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)

Hervorragende Atmosphäre, Beisitzer protokolliert nur und ist nett. Man muss sagen, das Dr. Kössler das hervorragend macht. Man vergisst sofort die Aufregung. = \"Atmosphäre\" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer

-Satze der Totalen Wahrscheinlichkeit

-Satz von Bayes

-Konvergenzarten

-Dr. Kössler nennt einen Sachverhalt und man muss dazu passendes Verteilungsmodell nennen und aufschreiben mit Erwartungswert. In meinem Fall war es die geometrische Verteilung

-Besondere Bedeutung der Normalverteilung plus zentrale Grenzwertsatz

- Gesetz der großen Zahlen

Im Kontext stehende Definitionen bzw. Sätze immer angeben !
= Prüfungsfragen

2,0 = Note (Optional)

Sehr faire Benotung und man Muss definitiv Dr. Kössler und dem Beisitzer für die sehr angenehme Prüfungsatmosphäre an diese Stelle nochmal danken. Also habt keine Angst ! :)
 = Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)

= Datum der Prüfung 
26.2.2015

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
zwei Wochen bei regelmäßiger Anwesenheit in der Vorlesung und 
bearbeiten aller ÜbungsBlätter

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Vorlesungsfolien und eigene Aufzeichnungen

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
freundlich, Beisitzer hat ruhig notiert

= Prüfungsfragen
- bekannte stetige Verteilungen
- wo kommt Normalverteilung zum Einsatz und warum hat die Verteilung eine Sonderstellung 
    -- zentr. Grenzwertsatz 
- wo wird Exponentialverteilung verwendet ? 
- wozu braucht man Gleichverteilung
    -- Transformation von Verteilungen, wenn F⁻¹ bekannt
- Alternative Transformation für Normalverteilung,
    -- Zentraler Grenzwertsatz bzw. Box-Müller Transformation )
- Methode zur Generierung von Pseudozufallszahlen
- Beurteilungsmethoden von Pseudozufalls-zahlen 
    -- \Chi^2 anpassungs Test, 
    -- Kolmogorov-Smirnov test
    -- Autokorrellation
- Korellations-Koeffizient, Definition und Interpretation 
    -- Lineare Abhängigkeit 
- Gesetz der Großen Zahlen ( beide ) Vorraussetzungen an Varianz bei schwachem Gesetz.
- Momentenmethode als Parameterschätzung, für Erwartungswert wie eingesetzt ? und wo nicht ? 
    -- doppel-Exponential  
- bekannte Ungleichungen 
    -- Jensen, 
    -- Tschebyschev
    -- Markov
    -- ...

= Note (Optional)
2.0
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Prüfung war ruhig, bei fehlendem Wissen wurde gut zum nächsten Thema gewechselt. 

geringes Wissen bei mir :
- Beurteilungsmethoden für Pseudezufallszahlen
- Korrellationskoeffezient als Maß der linearen Abhängigkeit
- wo ist Momentenmethode nicht ideal

= Datum der Prüfung    
  14.02.2019   
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
  1 Woche; bei regelmäßigem Besuch der VL und Bearbeitung der UE-Blätter
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
  Skript, für verschiedene Unterthemen verschiedene Bücher und das Internet
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
  relativ kleiner Kurs und durch Herr Koesslers lockere Art --> entspannte Atmosphäre
= Prüfungsfragen
  * = Teilaufgabe mit Extrapunkten; ZV=Zufallsvariable; Wkt.=Wahrscheinlichkeit
  1) In einem großen Betrieb haben 50% der Leute Windows, 30% Mac-Os und 20% Linux installiert. 
     Es sei bekannt, dass 80% der Windows-, 60% der Mac- und 10% der Linuxrechner von Schadsoftware befallen sind.
     Ein Rechner hat einen Virus. Wie groß ist die Wkt., dass es sich um einen Windosrechner handelt. Geben Sie einen
     möglichst gekürzten Bruch an.  
     (die Schadsoftware-Prozentangaben können abweichen) 

  2) Im Land LATE sei die unabhängige Wartezeit auf Züge Exp.-Verteilt, mit dem Erwartungswert 1/2 h.
     a) Wie groß ist die Wkt., dass sie auf einen zufällig gewählten Zug mehr als 1 Stunde warten müssen?
     B) angenommen Sie haben schon eine Stunde gewartet:
       Ba) Wie groß ist dann die Wkt., dass sie 2 Stunden warten müssen?
       Bb) Wie groß ist dann die Wkt., dass sie insgesamt mehr als 3 Stunden warten müssen?
     als Hinweis waren exp(-1), exp(-2), exp(-3) und exp(-4) und deren ungefähre Zahlenwerte gegeben)

  3) Geben Sie eine passende Verteilung an und spezfieren Sie diese, so weit es die gegebenen Informationen erlauben!
     a) Gegeben ein Skatblatt mit 32 Karten, davon 4 Asse. Sie ziehen 10 mal mit zurücklegen. 
        X1 ~ ??      wobei X1 die Anzahl der gezogenen Asse ist
     b) Sie würfeln mit einem fairen Würfel (Augenzahl 1,..,6) solange bis eine 6 gewürfelt wurde.
        X2 ~ ??      wobei X2 die Anzahl der Versuche ist
     c*) Wie b), jedoch wird solange gewürfelt, bis 2 6en gewürfelt wurden.
        X3 ~ ??      wobei X3 die Anzahl der Versuche ist
     d) Sie ziehen 120 auf dem Intervall (0,1) gleichverteilte Zufallszahlen.
        X4 ~ ??      wobei X4 die Summer der Zufallszahlen ist
     (hier war eventuell noch eine mehr dabei, auf die ich nicht komme)

   4) Gegeben war eine diskrete ZV Xn:( -1  0  1 ) mit p:( 1/(2n)  1-1/n  1/(2n) )
     a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von Xn!
     b) Zeigen Sie, dass Xn in Wkt. gegen 0 konvergiert!
     c) Zeigen Sie: Xn konvergiert im quadratischen Mittel!
     d) Geben Sie die Verteilung von der ZV X1+X2 an.
     e) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X1+X2!
     f*) Untersuchen Sie den Erwartungswert und die Varianz von "Summe k=1 bis n von Xk"!

   5) Sei X eine ZV mit P(X>0)=1 und varX=1. Zeigen Sie folgendes für alle n, n>=1.
      a) P(X>n*EX) <= 1/n
      b) P(X>n+EX) <= 1/n^2

   6) Gegeben f(x,y)= x+y  und x,y element (0,1)
      a) Zeigen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist!
      b) Berechnen Sie die Randdichten von X und Y!
      c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X und Y!
      d) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten von X,Y!
      (hier nicht ganz sicher, ob es doch eine Teilaufgabe mehr war)

   7) Gegeben war eine Markovkette M als Matrix, mit 4 Zuständen. (Die Spaltensummen waren auch 1.)
      a) Klassifizieren Sie die Zustände von M! Ist M irreduzibel?
      b) Exisitiert die stationäre Verteilung von M? Wenn ja geben Sie diese an!
      c) Ermitteln Sie die erwartete Rückkehrzeit vom Zustand 1 in den Zustand 1!
      d) Berechnen Sie die erstmaligen Rückkehrzeiten vom Zustand 1 in den Zustand 1:
         f1(1), f1(2) und f1(3) !
      e) Geben Sie die Wkt. F1 an, irgendwann wieder in den Zustand 1 zurückzukommen.
      (hier nicht ganz sicher, ob es doch eine Teilaufgabe mehr war)

= Note (Optional)
  nicht bekannt
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
  sehr faire Prüfung sowohl von der Zeit als auch von den Aufgaben her (Varietät, Rechenaufwand, Denkaufwand, . . .)

= Datum der Prüfung    
  13.02.2020   
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
  1 Woche; bei regelmäßigem Besuch der VL und Bearbeitung der UE-Blätter
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
  Skript
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
entspannt
= man durfte Taschenrechner und ein beidseitig beschriebenes Blatt mit reinnehmen, 2 Stunden Zeit
= Prüfungsfragen
  * = Teilaufgabe mit Extrapunkten

  1)Es sind 20% krank. Von den Kranken werden 80 % mithilfe eines Tests als Krank identifiziert. Von den nicht Kranken werden 0.9 als solche mithilfe eines negativen Tests identifiziert. Geben Sie einen möglichst gekürzten Bruch an.  (6 Punkte)
	a) Wie groß ist die Wahrscheinlickeit, dass der Test eine zufällig ausgewählte Person richtig diagnostiziert wird. 
	b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person postiv getestet wird?
	c) Wie groß ist die Wahrscheinlickeit dass die Person krank ist, wenn der Test positiv ausgefallen ist. 

  2) Geben Sie eine passende Verteilung an und spezfieren Sie diese, so weit es die gegebenen Informationen erlauben! (8+2 Punkte)
     a) Schach mit 32 Figuren, 16 Bauern, 5 mal ziehen mit zurücklegen
        X1 ~ ??      wobei X1 die Anzahl der Bauern ist
     b*) Wie a) nur statt ohne zurücklegen
        X2 ~ ??      wobei X2 die Anzahl der Bauern ist
     c) Wartezeit, bereits gewartete Zeit hat keinen Einfluss
	X3 ~ ?? , wobei X3 die Wartezeit ist
     d) 10 Millionen Bücher in Bibliothekt. p=1^(-4) jedes Jahr gehen verlorem
	X4 ~ ?? , wobei X4 die Anzahl der verlorenen Bücher im Jahr
     e)

  3) X und Y in Geo(p) (5 Punkte)
     a) E(X+Y)
     b) Die Verteilung von X+Y

   4) X in R(e^2-1,e^2+1) (12 Punkte)
	a) E(ln(X))<=2
	b) Y=ln(X) Dichte
	c) Was zur Akzeptierungsmethode
	d) 
	e)

   5) Gegeben f(x,y)= cx^2y (9 Punkte)
      a) Bestimme c so, dass f(x,y) eine Dichte ist
      b) Berechnen Sie die Randdichten von X und Y!
      c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X und Y!
      d) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten von X,Y!

   6) S={1,2,3,4,5} im Uhrzeigersinn angeordnet. Von einem Zustand zu seinen Nachbarn im Uhrzeigersinn p, gegen den Uhrzeiger sinn 1-p, Rest Null (10 Punkte)
      a) Stellen Sie die Übergangsmatrix auf
      b) Klassifizieren Sie die Zustände von M! Ist M irreduzibel?
      c) Exisitiert die stationäre Verteilung von M? Wenn ja geben Sie diese an!
      d) Ermitteln Sie die erwartete Rückkehrzeit vom Zustand 1 in den Zustand 1!
      e) Berechnen Sie die erstmaligen Rückkehrzeiten vom Zustand 1 in den Zustand 1:
         f1(1), f1(2) und f1(3),f1(4),f1(5) !
      f) Geben Sie die Wkt. F1 an, irgendwann wieder in den Zustand 1 zurückzukommen.

= Note (Optional)
  nicht bekannt
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
  sehr faire Prüfung sowohl von der Zeit als auch von den Aufgaben her (Varietät, Rechenaufwand, Denkaufwand, . . .)

= Datum der Prüfung    
  13.02.2020   
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
  1 Woche; bei regelmäßigem Besuch der VL und Bearbeitung der UE-Blätter
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
  Skript
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
entspannt
= man durfte Taschenrechner und ein beidseitig beschriebenes Blatt mit reinnehmen, 2 Stunden Zeit
= Prüfungsfragen
  * = Teilaufgabe mit Extrapunkten

  1)Es sind 20% krank. Von den Kranken werden 80 % mithilfe eines Tests als Krank identifiziert. Von den nicht Kranken werden 0.9 als solche mithilfe eines negativen Tests identifiziert. Geben Sie einen möglichst gekürzten Bruch an.  (6 Punkte)
	a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine zufällig ausgewählte Person richtig diagnostiziert wird. 
	b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person postiv getestet wird?
	c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Person krank ist, wenn der Test positiv ausgefallen ist. 

  2) Geben Sie eine passende Verteilung an und spezifizieren Sie diese, so weit es die gegebenen Informationen erlauben! (8+2 Punkte)
     a) Wartezeit, bereits gewartete Zeit hat keinen Einfluss
	X1 ~ ?? , wobei X1 die Wartezeit ist
     b) Schach mit 32 Figuren, 16 Bauern, 5 mal ziehen mit zurücklegen
        X2 ~ ??      wobei X2 die Anzahl der Bauern ist
     c*) Wie b) nur statt ohne zurücklegen
        X3 ~ ??      wobei X3 die Anzahl der Bauern ist
     d) 10 Millionen Bücher in Bibliothekt. p=10^(-4) jedes Jahr gehen verlorem
	X4 ~ ?? , wobei X4 die Anzahl der verlorenen Bücher im Jahr
     e) Seien X1,...,X1000 normalverteilt. 
        X5  ~ ??, wobei X5 die Summe aller Xi ist

  3) X und Y in Geo(p) (5 Punkte)
     a) E(X+Y)
     b) Die Verteilung von X+Y

   4) X in R(e^2-1,e^2+1) (12 Punkte)
	a) E(ln(X))<=2
	b) Bestimme die Dichte von Y=ln(X) 
	c) Wie erzeugt man aus R(0,1) eine Zufallszahl aus R(e^2-1,e^2+1) (nicht Akzeptanzmethode, einfach Linearität ausnutzen)
	d) Seien X1,...,Xn ~ R(e^2-t,e^2+t). Führe eine Momenten- und Maximum-Likelihood-Schätzung für t durch.
	e) Seien A1,...,An unabh. Ereignisse, die mit Wkt. p1,...,pn auftreten. Finde die Wkt, dass ungerade viele Ereignisse auftreten.

   5) Gegeben f(x,y)= cx^2y (9 Punkte)
      a) Bestimme c so, dass f(x,y) eine Dichte ist
      b) Berechnen Sie die Randdichten von X und Y!
      c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X und Y!
      d) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten von X,Y!

   6) S={1,2,3,4,5} im Uhrzeigersinn angeordnet. Von einem Zustand zu seinen Nachbarn im Uhrzeigersinn p, gegen den Uhrzeigersinn 1-p, Rest Null (10 Punkte)
      a) Stellen Sie die Übergangsmatrix auf
      b) Klassifizieren Sie die Zustände von M! Ist M irreduzibel?
      c) Existiert eine stationäre Verteilung von M? Wenn ja, geben Sie diese an!
      d) Ermitteln Sie die mittlere Rückkehrzeit vom Zustand 1 in den Zustand 1!
      e) Berechnen Sie die erstmaligen Rückkehrzeiten vom Zustand 1 in den Zustand 1:
         f1(1), f1(2), f1(3), f1(4), f1(5) !
      f) Geben Sie die Wkt. F1 an, irgendwann wieder in den Zustand 1 zurückzukommen.

Fazit: Sehr einfach. Der zentrale Grenzwertsatz, Konvergenzen, Markov, Tschebyscheff kamen nicht vor, nächstes Jahr sicherlich wieder. Wenn man die Übungen besucht hat, ist man klar im Vorteil...

= Datum der Prüfung 24.02.2021
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung 
2-3 Wochen
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Eigentlich nur das Script durchgearbeitet und die einzelnen zusammenhänge erarbeitet/rausgeschrieben
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Mündliche Zoom Klausur - Trotzdem alles super entspannt und Koessler ist einfach nett.
= Prüfungsfragen
Da ich die erste mündliche hatte unter allen Teilnehmern durfte ich mir das Einstiegsthema aussuchen. Habe die Exponentialverteilung genommen.

Bei der Exponentialverteilung sollte ich Erwartungswert, Variant, Dichte , Besonderheiten wie z.b. Gedächtnislosigkeit und Anwendungen angeben.

Danach Faltungsformel bzw. Faltungsformel für Exponentialverteilung.

Dann Schätzmethoden. Bei mir ausführlich die Maximum Likelyhood Schätzung.
Sollte dann die Formel für die Exponentialverteilung angeben. Und dann den Wert für Theta berechnen mit dem Log.

Danach Pseudozufallszahlen.
Quantilmethode und im Zuge dessen Transformationsformel.

Dann Akzeptanzmethode
Wie funktioniert sie usw.
Wo findet die Akzeptanzmethode beim Zigurath Algorithmus eine Anwendung?

Das wars dann eigentlich schon.
Abzüge gabs bei mir bei den Logarithmus Gesetzten bei der ML-Abschätzung


= Note (Optional) 1,3 *flex*
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Note absolut nice. hab mit ner 2,0 oder so gerechnet. Das aussuchen des Themas hat mir echt geholfen und es scheint mir das wenn man die vielen kleinen Details und zusammenhänge kann echt gut dabei ist.

= Datum der Prüfung: 25.03.2021
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung: sehr individuell
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...): Übungsblätter, Prüfungsprotokolle
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer: alles bestens
= Prüfungsfragen: Ich kann mich nicht mehr komplett erinnern, dementsprechend sind die Aufgaben unvollständig, 
aber wollte trotzdem ein kleines Gedächtnisprotokoll erstellen :D
Die Bepunktung ist eine ungefähre Angabe! Es gab insgesamt 50+4 Punkte

1. (8 Punkte)Unvollständige Kontingenztabelle gegeben
a)Tabelle vervollständigen
b) EX und EY berechnen
c) E(X*Y) berechnen
d) cov(X,Y) berechnen


2. (4 Punkte)Es waren Verteilungen gegeben und man sollte sagen, ob das stimmt zB:

X1~N(0,1) X2~N(0,1) dann ist X1+X2~N(0,1)      wahr/falsch


3. (5 Punkte)Hier gab es Ereignisse und man sollte die passende Verteilung angeben


4. (6 Punkte)Zuverlässigkeit eines Systems (Reihen-, Parallelsystem)
   Ich glaube man musste hier einige Werte berechnen wie Erwartungswert und so, 
   aber es war auch was passendes in der Aufgabenstellung gegeben.

5. (12+2 Punkte)Funktion gegeben f(x) { e^-(x-µ), falls x>µ | 0 sonst 

a) Zeigen Sie f(x) ist eine Dichtefunktion
b) EX bestimmen
c) Zeigen Sie E(ln(X))=< 1+ln(X) (rechts von der Ungleichung bin ich mir nicht sicher)<- dafür gab es die +2 Punkte
d) Erzeugen Sie eine Zufallszahl im Intervall U(0,1)
e) Geben Sie eine Momenten- und Maximum-Likelyhood Schätzung an

6. (7 Punkte) Irgendeine Verteilung V war gegeben :D

a) Zeigen Sie P(|X − Xn | ≥ ε) < 1/nε^2     (Es war gegeben: VarX = 1/n und EX=0)
b) Berechnen Sie P(|X − Xn | ≥ ε) .
c) Konvergiert V in Wahrscheinlichkeit?    wahr/falsch
d) Konvergiert V im quadratischen Mittel?  wahr/falsch
e) Konvergiert V in Verteilung?            wahr/falsch


7. (8+2 Punkte)Zwei Markovketten M1 und M2

a) Klassifizieren Sie die Zustände von M1. Hat M1 eine stat. Verteilung?
b) Geben Sie, falls existiert die stat. Verteilung für M2 an.
c) Wie groß ist die Wkt. erstmalig von Zustand 1 in Zustand 2 zu kommen? (M1)
d) Was ist die erwartete Anzahl an Schritten von Zustand 1 wieder in Zustand 1 zu kommen? (M2)
e) Rückkehrwahrscheinlichkeit berechnen. <- dafür gab es die +2 Punkte


= Note (Optional): unbekannt
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...): Die Prüfung war eigentlich fair, aber ich habe schon 
  unnötig Zeit mit einfachen Aufgaben verschwendet. Wenn man sich gut vorbereitet hat, sollte man keine Angst vor 
  neuartigen Aufgaben haben!