= Datum der Prüfung 
16.02.1015


= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
        2 Wochen insgesamt:
             1 Woche um erstmal intensiv den Vorlesungsstoff zu wiederholen
             1 Woche um Übungsaufgaben zu rechnen!!!


= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
        Vorlesungsmitschriften der Vorlesung
        Teschl,G.; Teschl,S.: Mathematik für Informatiker, Band I. 3. Auflage, Springer (2008)
        http://www.onlinetutorium.com --> sehr gute Lernvideos


= Prüfungsfragen
1. wahr/falsch ankreuzen.

2. Kern, bild, injektiv, surjektiv? 

3. Basis abgeben und Koordinatenabbildung bestimmen 

4. Eigenwerte, Eigenvektoren und Rang der Matrix abgeben

5. Skalarprodukt, Norm und Gram-Schmidt anwenden

Man musste auch zwei Definitionen abgeben 
1) lineare Unabhängigkeit 
2) Kern - Bild Satz 


        

Dies ist eine Vervollständigung des Protokolls 907.

= Datum der Prüfung
17.02.2020 9:30

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
Eine Woche, wenn man davor die Hausaufgaben gelöst hat.

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Übungsblätter, MC-Tests, Vorlesungsskript
Khan Academy "Linear Algebra" Kurs ist sehr empfehlenswert 

= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
ziemlich enspannt

= Prüfungsfragen

Erreichbare Punkten - 53 + Zusatzpunkte, 26,5 reicht fürs Bestehen, Zeit - 2 Stunden

1. Beweise B\(B\A) = B geschnitten A

  8 oder 6 Punkte, Aufgabe aus den Klausuraufgaben-Vorschlägen
  "In diesem (Moodle) Forum haben Sie die Möglichkeit Aufgaben für die Klausur vorzuschlagen. 
  Die Aufgaben können Sie selbst für die Vorbereitung auf die Klausur verwenden." - Zitat aus 
  dem Moodle Kurs.
    


2. Gegeben Funktion f, Element aus Homomorphismen V nach V, f ist injektiv. 
  Zeige mittels Vollständiger Induktion, dass 
  f^n (definiert induktiv f^1 = f; f^(n+1) = (f^n)°f (Hintereinanderausführung)) wiederum eine 
  injektive Funktion ist.

  10 Punkte


3. Zeige dass eine Vereinigung zweier Unterräume U,W eines Vektorraums V genau dann ein 
  Unterraum von V ist, wenn U teilmenge W oder W teilmenge U ist.

  8 oder 6 Punkte, Aufgabe aus den Klausuraufgaben-Vorschlägen
  "In diesem (Moodle) Forum haben Sie die Möglichkeit Aufgaben für die Klausur vorzuschlagen. 
  Die Aufgaben können Sie selbst für die Vorbereitung auf die Klausur verwenden." - Zitat aus 
  dem Moodle Kurs.


4. A = (1, 2, 3)

  Bestimme 

  B = A^TA (Matrizenmultiplikation A transponiert mal A)
  C = AA^T (Matrizenmultiplikation A mal A transponiert)

  Untersuche B,C auf Invertierbarkeit, berechne ggf. die Inverse.


5. Gegeben eine Matrix 3x4 

  mit folgenden Einträgen:
  1 2 0 1
  2 4 1 6 
  3 6 3 9

  Vektor b:
  4
  b2
  b3

  (aus dem Gedächtnis, vielleicht nicht die tatsächlichen Zahlen)

  a.) Wandle die (A|b) Matrix in die Zeilenstufenform mittels Gaußsches EliminationsVerfahren 
  um.

  b.) Bestimme den Defekt von der Matrix und die Basis des Kerns.

  c.) Bestimme den Rang der Matrix.

  Zusatzaufgabe:
  d.*) b' sei die Summe der Spaltenvektoren von A. Bestimme die Lösungsmenge von (A|b'), und 
  deren Kardinalität.


6. Gegeben ist die 3x3 Matrix

  1 2 0
  2 4 0
  0 0 5

  Bestimme die Eigenwerte. 


7. Basis B von R^2 besteht aus folgenden Vektoren u1, u2:
  
  -1    1
   0   -1
   1    1

  Bestimme eine ONB B', wobei u1' ist ein Vielfaches von u1 (u1 und u1' haben dieselbe 
  Richtung). 

  Erweitere die ONB B' mit einem Vektor v, so das die entstandene Basis von R^3 wiederum eine 
  ONB ist.

  Bestimme die Basis des orthogonalen Komplements von Span({u1,u2}), begründe.

  11 Punkte


8.* Zusatz Aufgabe

  Gegeben ein Vektorraum über den Körper (Z/5Z, +, *) (Modulo Operationen).

  Sei V der Span von 3 Vektoren

  [1]  [3]  [4]
  [2]  [1]  [3]

  und M die Menge mit 2 Vektoren.
  
  [0]  [2]
  [2]  [4]

  Bestimme V geschnitten M, dim(V), die Kardinalität von V.


9.* Zusatz Aufgabe

  Gegeben eine Matrix B mit Dimensionen nxn, n eine natürliche ungerade Zahl.
  
  B^T = -B (B Transponiert ist gleich (-1)B).

  Zeige das det(B) = 0.
  

 
= Note (Optional) 

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Wenn man die Aufgaben aus den Klausuraufgaben-Vorschlägen richtig gelöst und noch Punkte aus den weiteren Aufgaben, wie z.B. die machbare Vollständige Induktion Aufgabe, gesammelt hätte, könnte man über die Hälfte der Punkte kommen. 

= Datum der Prüfung 15.06.2020 (2h)
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung 1 Woche
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...) LinaSkript
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer: take home Klausur also alleine
= Prüfungsfragen
= Note (Optional)
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
  An sich eine sehr angemessene Klausur, man muss durcharbeiten ohne viel nachzudenken wenn man alles schaffen     will, aber auch nicht unmögllich 


1.)
Zeigen Sie, dass für jedes n ∈N0 folgende Aussage gilt: 23|(5^2n −2^n).

2.)
Sei K ein Körper und für beliebiges n ∈N sei die Menge O(n) gegeben durch

 O(n) := {X ∈ K^n×n | X ist invertierbar und es gilt X^−1 = X^T}. 

(a) Wir betrachten die Relation (R,K^n×n) mit

 ARB falls ∃X ∈ O(n) : A = XBXT. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. 

Hinweis Bloßes Benennen der notwendigen Eigenschaften genügt nicht. Es ist zu zeigen, dass R diese Eigenschaften erfüllt. 

(b) Es seien nun A,B ∈ K^n×n und X ∈ O(n) so gegeben, dass A := XBX^T.
 (i) Zeigen Sie, dass σ(A) = σ(B).
(ii) Zeigen Sie, dass detA = detB.

3.)

Im euklidischen Vektorraum R3 mit dem Standardskalarprodukt seien 

U :={x = (x1,x2,x3)^T ∈R^3 | x1 −x2 + x3 = 0∧2x1 −x3 = 0} und
W :=span({w1,w2}) mit w1 = (1,1,0)^T, w2 = (0,1,1^)T. 


(a) Bestimmen Sie eine Basis BU von U und die Dimension U. 
(b) Bestimmen Sie jeweils die Dimension von U ∩W und von U + W. 
(c) Bestimmen Sie eine ONB BW von W, wobei αw1 ∈ BW für ein α ∈R. Hinweis Bestimmen Sie zuerst ein passendes α ∈R.

4.)

Gegeben seien die Abbildungen fi : R2 →R2, i = 1,...,3 mit


 f1(x) := x1 −x2   f2(x) := x1 *x2   f3(x) :=     1
            x2               −x2                 2x1


 mit x = (x1,x2)^T ∈R2. 



(a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen Homomorphismen sind (mittels Beweis bzw. Gegenbeispiel). 
(b) Stellen Sie die Homomorphismen aus (a) mit Hilfe von (Abbildungs-) Matrizen dar.

5.)
Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem (LGS) mit x1,x2,x3 ∈R.

 2x1 + x2 + x3 = 1,
 6x1 + x2 + x3 = 1,
 4x1 +     3x3 = 1. 



(a) Stellen Sie das LGS in Matrix-Vektor-Schreibweise dar und überführen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix mittels Gaußschem Algorithmus in Zeilenstufenform. Geben Sie die Lösungsmenge des LGS und ihre Kardinalität an. 

(b) Es sei A die Koeffizientenmatrix des obigen linearen Gleichungssystems und f : R3 →R3 gegeben durch x → Ax. Ist diese Abbildung f 
• ein Homomorphismus? • injektiv? • bijektiv? und/oder • surjektiv?
Begründen Sie Ihre Antworten.

6.)

Gegeben Sei die Matrix A =1 2
                          2 4

(a) Bestimmen Sie je eine Basis für kerA und imA. Überführen Sie A hierzu in Zeilen und Spaltenstufenform. 
(b) Bestimmen Sie die Menge aller Matrizen B ∈R^2×2, für die AB = A^T gilt. Geben Sie zwei verschiedene Elemente dieser Menge an. 
(c) Bestimmen Sie die Determinante und die Eigenwerte von A. Ist A invertierbar? 
(d) Bestimmen Sie eine Basis für den Eigenraum zum größten Eigenwert von A.