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Protokolle (10 gefunden)

Nr.PrüferFach
508 Ehemalige Lehrkraft Angewandte Mathematik für InformatikerInnen

Protokoll

= Datum der Prüfung
WS 10/11
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
Empfehlung von Prof. A. Nonym: 4 Wochen
Wg. anderen Prüfungen geschafft: 2-3 Wochen (extrem intensiv)
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Script (Mitschrift, gerne von mehreren um die vielen Abschreibfehler zu vergleichen), Rannacher Numerik 0 (und 1), 3-4 Numerik-Bücher (je nachdem wer welches Thema grade verständlich beschreibt)
= \"Atmosphäre\" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
War der 3. Versuch und erste mündl. Prüfung, daher relativ viel Nervosität.
Bei der Konsultation geizt Prof. A. Nonym nicht mit Aussagen wie \"Todesprüfung\" oder \"allerletzte Chance\", das weiß man ja in der Regel selbst, also davon einfach nicht verunsichern lassen!
In der Prüfung ist er zumindest etwas einfühlsamer gewesen... Der Beisitzer (ein Stochastiker) war extrem nett!
= Prüfungsfragen
Quadraturformeln (Newton-Cotes), Interpolation, Newton-Verfahren (wann konvergiert es?), Satz von Peano, Wahrscheinlichkeit, ... (an mehr kann ich mich leider gerade nicht erinnern)
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Der Start war holperig, die erste Frage kam bevor der Beisitzer soweit war und die Personalien geprüft hatte, noch dazu hatte ich erwartet das Startthema wählen zu dürfen, dafür hat er sich nachher entschuldigt. Zwischendurch hatte ich einige Hänger und die Fragen gingen trotz des breiten Stoffs sehr ins Detail. Bei den Details hatte ich einige Lücken und bei manchen Fragen wusste ich einfach nicht worauf er hinaus möchte. Er versucht aber viel zu helfen. Der Beisitzer hat die Wahrscheinlichkeitsfragen gemacht, die liefen gut!
Prüfung hatte Zweck den letzten Schein zum Grundstudium zu liefern und den hat sie erfüllt. Benotung war angemessen und Prof. A. Nonym hat hohe Ansprüche, aber auch kein Interesse, Leute durchfallen zu lassen.

Nr.PrüferFach
563 Ehemalige Lehrkraft Angewandte Mathematik für InformatikerInnen

Protokoll

= Datum der Prüfung
7. 3. 2012, schriftlich

= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
Habe eine Woche gelernt, war deutlich zu kurz.

= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Formelsammlung, Taschenrechner und 2 beschriebene A4-Blätten waren in der Klausur erlaubt.
Bei der Vorbereitung waren Vorlesungs- und besonders Übungsmitschnitte sehr wichtig.
Ein inoffizielles Skript gab es hier:
http://www2.mathematik.hu-berlin.de/~compmath/WS1112/Serien/amfi-skript.pdf

= Prüfungsfragen
Gedankenprotokoll der Aufgaben:

. Aufgabe: Fragen und Definitionen im Text (10 P)
 - Welche Vorteile hat das Newton-Basispolynom gegenüber Lagrange? (1P)
 - Erklären Splines und natürliche kubische Splines (2P)
 - Wann bricht der Simplex nicht ab? (1P)
 - Mit einer Menge Omega, was ist dann die Ereignisalgebra (2P)
 - Wann konvergiert das Newton-Verfahren? (1 o. 2P)
 - ? vergessen
 

2.  Aufgabe (8P)
a) f(x) = 1/x und 3 Stützstellen (1, 2, 3) gegeben - Lagrange und Newton-Polynome und Monomdarstellung(x^2, x, 1) berechnen (4P)
b) Fehlerabschätzung mit einer der Formeln aus der Vorlesung (war wohl egal welche) (4P)

3. Aufgabe Anfangswertaufgaben (10P)
a) ich glaube y\' = (x - y + 0.5)^2,   y(Pi) = 0.5 - Pi
Löse die Anfangswertaufgabe, führe Substutition u = x - y +0.5 durch. (5P)
b) Löse die Aufgabe durch impliziten Euler (eine Iteration). Das daraus folgende nichtlineare GLS soll mit Newton mit einer Iteration gelöst werden (Startwert 2.5) (5P)

4. Simplex-Algorithmus: (12P)
War total unübersichtlich gestellt:
Wir sind ein Betonhersteller von teurem Spezialzement. Dieser muss nach Köln geliefert werden. wir haben zwei Fabriken, eine 25 Jahre alte Fabrik in Neuss und eine neue Fabrik in Wiesbaden. Die in der Fabrik in Neuss kostet die Herstellung einer Tonne Zement 50 €, in Wiesbaden 100 €. Die maximalen Kosten der Herstellung sollen 1000€ sein. Der Transport von Neuss nach Köln kostet 20€/t, der von Wiesbaden 40€/t. Die maximalen Transportkosten sollen 500 € sein (Live-Tipp von A. Nonym: Kombinierte Transportkosten von beiden zusammen). Der Abnehmer in Köln nimmt maximal 20t/Tag für 160 €/t.

= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Die Zeit war knapp und die Aufgaben waren im Vergleich zu dem vorher geübten ziemlich schwer. Werde wohl nochmal schreiben müssen.

Nr.PrüferFach
705 Ehemalige Lehrkraft Angewandte Mathematik für InformatikerInnen

Datei (Zugriff nur aus dem HU-Netz)

Angma_Klausurprotokoll_WS1415.pdf

Nr.PrüferFach
747 Ehemalige Lehrkraft Angewandte Mathematik für InformatikerInnen

Datei (Zugriff nur aus dem HU-Netz)

untitled 2.pdf

Nr.PrüferFach
758 Popova-Zeugman Dr. Angewandte Mathematik für InformatikerInnen

Protokoll

= Datum der Prüfung: 29.07.2016
= Benötigte Lernzeit als Empfehlung: Habe im Semester die Hälfte der Übungsaufgaben gemacht und knappe zwei Tage gelernt. War nicht gerade viel, aber gerade genug zum Bestehen. 
= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...): Skripte online, Übungsaufgaben, "Google"
= "Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer
Ganz normale schriftliche Prüfung
= Prüfungsfragen

1. Aufgabe:
- Ein paar allgemeine Fragen über LOAs, Basispunkte, -matrizen, etc. Kann mich leider nicht an genaue Fragen erinnern.

- Ein LOA inkl. Gomory-Schnitt lösen.

2. Aufgabe:
- Drei gegebene Funktionen einordnen, ob sie Ordnungen, linear, homogen sind oder konstante Koeffizienten haben
- Anfangswertproblem lösen: xy' + y = 4x^3 - 2x^2 mit y(1)=3

3. Aufgabe:
- absolute und relative Kondition zu f(x) = x^2 und g(x) = (x^2) - 1
- Newtonverfahren anwenden und das exakte Ergebnis berechnen

4. Aufgabe:
- Jacobi-Verfahren auf eine A*x = b - Gleichung

5. Aufgabe:
- Trapezregel für 1er-, 2er- und 4er-Intervalle
- Simpsonsregel auf die gleiche Funktion und das exakte Ergebnis berechnen

6. Aufgabe:
- Aufgabe zu totalen, bedingten, etc. Wahrscheinlichkeiten: 
In einem Unternehmen machen 60% der Frauen Sport und 80% der Männer. Das Verhältnis ist 3:2 (Männer:Frauen).
zB. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Angestellter Sport macht? oder Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Angestellter, der Sport macht, weiblich ist?

7. Aufgabe:
- Kann mich nicht mehr so gut erinnern, aber man musste Erwartungswerte und Varianzen ausrechnen, Wahrscheinlichkeitsmodelle zuordnen (Poisson, Binomial, etc.).
- Zeige P(|Xi| >= 2) <= 1/4 mit E(Xi) = 0 und Var(Xi) = 1
- Irgendwas noch mit einer Verteilfunktion standardnormalverteilt :D

= Note (Optional): 3.3
= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
War schon okay, mit mehr Lernen springt ne akzeptable Note raus.

Nr.PrüferFach
771 Popova-Zeugman Dr. Angewandte Mathematik für InformatikerInnen

Protokoll

= Datum der Prüfung
14. Oktober 2016 (Nachklausur)


= Benötigte Lernzeit als Empfehlung
Ich habe mich etwas mehr als 3 Wochen vorbereitet.


= Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...)
Skript von Frau Popova und Herrn Kössler, Mitschriften aus der Übung, auch viel Internet


= Prüfungsfragen

AUFGABE 1
---------

a) Beantworten Sie die folgenden fragen mit Ja/Nein/Weiß nicht.
- Gegeben eine LOA max{ <c,x> | Ax=b, x>=0 }. Sei A_B eine Basismatrix, sodass (A_B|A_N) = A und x ein zü A_B gehöriger Basispunkt. x liegt im Restriktionsbereich der LOA. _______
- Die Hilfsaufgabe ist immer lösbar. _______
- Sei P max{ <c,x> | Ax=b, x>=0, x aus Z } ein ILP und P* seine Relaxation. Sei x1 eine Lösung für p und x2 eine Lösung für P*.
<c, x1> >= <c, x2> _______
<c, x1> <= <c, x2> _______

b)Bilden Sie die duale LOA zu ...

c) Lösen Sie das folgende ILP ... Benutzen Sie wenn nötigt Gomory-Schnitte. [Es ist nötig.]

AUFGABE 2
---------

a) Gegeben 3 Differenzialgleichungen. Geben Sie folgende Eigenschaften der DGLs an:
Ordnung, Linear (ja/nein), Konstante Koeffizienten (ja/nein), homogen (ja/nein).

b) Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem: xy'+3y = x^3+4x, y(1) = 1/6.

AUFGABE 3
---------

a) f(x) = x^2 + sin(x)
Absolute Kondition: ____________
Relative Kondition: ____________
Ist die Abbildung für x -> 0 gut konditioniert? Ja/Nein/Weiß nicht.

b) Wenden Sie das Newtonverfahren auf f(x)=x^2+2 an. Startwert ist 2.

(Iterationsvorschrift aufschreiben)
x_(n+1) = ______________________

(3 Schritte ausführen)
x_0 = 2
x_1 = _______
x_2 = _______
x_3 = _______

Exaktes Ergebnis: ___________

c) f(x) = sin(x). Berechnen Sie die Fläche von f(x) im Intervall [0, pi] mit
der Trapezregel und Simpsonregel mit jeweils 1 bzw. 2 Intervallen.
Trapezregel  1 Intervall : _______
Trapezregel  2 Intervalle: _______
Simpsonregel 1 Intervall : _______
Simpsonregel 2 Intervalle: _______
Exaktes Ergebnis:  _______

d) Regressionsgerade durch die Punkte (0, 3), (1, 2) und (3, 6)
mit der Methode der kleinsten Quadrate finden.

AUFGABE 4
---------

A: Ein Sportler hat gedoped.
B: Ein Sportler wurde positiv auf Dope getestet.
P(A|B) = 0.9999 (Wkt. dass ein Sportler gedoped hat, wenn er positiv getestet wurde.)
P(~A|~B) = 0.999 (Wkt. dass ein Sportler nicht gedoped hat, wenn er negativ getestet wurde.)
P(B) = 0.001

Berechne:
P(A) (auf 3 Nachkommastellen genau.)
P(B|A) (auf 3 Nachkommastellen genau.)
P(B|~A) (als Bruch, obere und untere Seite auf 3 Nachkommastellen genau.)

b) Eine Bibliothek hat 10^6 Bücher. Im Laufe des Jahren verschwinden (unabhängig voneinander) Bücher. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Buch, dass es verschwindet ist q = 0.0001.
Geben Sie ein Modell an: X ~ ________________
Berechnen Sie P(X>=110): ________________
(An die letzte Teilaufgabe kann ich mich nicht erinnern.)

4c)
............{ 1/25 + 1/5 für -5 <= x <= 0
Sei f(x) = { -1/25 + 1/5 für 0 < x <= 5
............{ 0 sonst.

Zeigen Sie, dass f eine Dichtefuntion ist.
Berechnen Sie den Erwartungswert EX: __________
Berechnen Sie die Varianz Var(X): _____________
Berechnen Sie P(-2 <= X <= 1): ________________


= Note (Optional)
1.3


= Fazit (Gute/schlechte Prüfung , angemessene Benotung etc...)
Die Zeit war mir persönlich ein bisschen knapp und man musste auch recht viele Rechenschritte tun, bei denen man sich verrechnen konnte. Aber das waren dann am Ende zum Glück nur Folgefehler. Es kam viel dran, es kam ja auch im Semester viel dran, aber das was dran kam war auf jeden Fall zu machen!

Nr.PrüferFach
811 Popova-Zeugman Dr. Angewandte Mathematik für InformatikerInnen

Protokoll

= Prüfung vom 28.07.2017
= Nur ein Tag - alles wichtige durchgehen und guten Spicker schreiben ;)
= Skript, Übungsblätter
= Prüfung lief ruhig und entspannt ab

= Prüfungsfragen:

Aufgabe 1.1 (8 Punkte)

Gegeben war:
LOA: (P) max{<c,x>|Ax = b, x >= 0}
x,c aus R^n und b aus R^m mit n>=m und Matrix A aus R^{m kreuzt n} mit Rang(A)=m

Man musste zu acht Aussagen schreiben, ob sie wahr sind oder nicht oder man setzt ein Kreuz, falls man es nicht weiß.

a) (P) hat immer mind. einen zulässigen Basispunkt.

b) Falls der Punkt x = (x_B, x_N) ein zul. Basispunkt ist, so enthält die Simplextabelle m Nichtbasisvariablen.

c) Die Nichtbasisvariablen eines zul. Basispunktes sind immer 0.

d) Jeder optimale Punkt einer LOA ist immer ein zul. Basispunkt.

e) Die Hilfsaufgabe besitzt immer einen optimalen Punkt.

f) Bei Simplex mit lixikographier Simplexmethode ist die Pivot-Spalte eindeutig bestimmt.

g) gleiches wie f) nur mit Pivot-Zeile

h) Hat eine min-LOA min{<c,x>|Ax=b, x>=0} eine duale LOA?


Aufgabe 1.2 (6 Punkte)

LOA gegeben:

max{x2-3x3|Bedingungen}
mit Bedingungen:
x1 + 3x2 + 2x3 <= 17
x1 + x3 >= 20
x1, x2, x3 >= 0

Aufgabe: Duale LOA angeben.


Aufgabe 1.3 (14 Punkte)

LOA gegeben:

max{5x1+2x2|Bedingungen}
mit Bedingungen:
2x1 + 3x2 + 4x3 <= 17
x1, x2, x3 aus Natürliche Zahlen

Aufgabe: Simplexalgorithmus durchführen und ggf. mittels Gomory-Schnitte


Aufgabe 2.1 (8 Punkte)

Gegeben waren folgende Differenzialgleichungen:

a) 7x^3 * y + x * y'' = e^x + 2
b) y' = (x*y^3)/sqrt(1+4x^2)
c) 7y'' + 2y'''  5y + 2 = 0

Aufgabe:
In eine Tabelle für jede Gleichung eintragen: welche Ordnung, ob linear, konstante Koeffizienten, ob homogen


Aufgabe 2.2 (14 Punkte)

Differenzialgleichung lösen:

y' = (1-y)/(1+x) und y(1) = 2


Aufgabe 3.1 (3 Punkte)

Gegeben: f(x) = sin(x)

Aufgabe: absolute und relative Kondition bestimmen und Grenzwert bestimmen für
lim x->0 für K_rel(x)


Aufgabe 3.2 (5 Punkte)

Mit Newtonverfahren eine Nullstelle von
f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x -1 = (x-1)^3
berechnen mit Startwert = 3/2.
Drei Iterationen und Formel für x_{n+1} angeben.
Danach noch Exakte Lösung angeben (man sieht dass es gegen 1 läuft, und 1 ist offensichtlich auch richtig)

Aufgabe 3.3 (5 Punkte)

LGS mit Jacobi-Verfahren lösen und exakte Lösung angeben.
Drei Iterationen. Und auch Formel für x_{n+1} angeben.

Gleichung: Matrix(obenlinks: 1/3, obenrechts: 0, untenlinks: -1, untenrechts: 3) * x = (oben: 1, unten: 0)
Startwert: x_0=(oben: 0, unten: 0)


Aufgabe 3.4 (5 Punkte)

Regressionsgerade bestimmen, die durch Punkte
(-2,0),(-1,2),(0,3),(1,4),(2,6) geht.

Irgendeine Splinefunktion angeben mit den Knoten in:
(t0, t1, t2, t3) = (-2, -1, 1, 2)

(3 Zusatzpunkte) Natürliche Splinefunktion angeben mit Knoten in:
(t0, t1, t2, t3) = (-2, -1, 1, 2)


Aufgabe 3.5 (7 Punkte)

Gegeben: Integral bestimmen mit untere Grenze=0, obere Grenze=1 von x^3

mit Trapezregel in 1, 2 und 4 Teilintervalle.
mit Simpsonregel, nur Intervall [0,1] + Exakte Lösung.


Aufgabe 4.1 (4 Punkte)

1000 Sportler, 700 Leichtathleten, 200 Radsportler und 100 Schwimmer. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Leichtathlet gedopt ist sei 0.6, bei einem Radsportler 0.9 und bei einem Schwimmer 0.3.

Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein Sportler gedopt ist.

Angenommen ein Sportler ist gedopt. Wahrscheinlichkeit angeben, dass der Sportler Radsport macht.


Aufgabe 4.2 (4 Punkte)

Wahrscheinlichkeit berechen für:

Dreimal Würfeln. Größte der drei Augenzahlen soll genau drei sein.

Wahrscheinlichkeit angeben, dass in einer zehnstelligen Telefonnummer jede Ziffer genau einmal vorkommt.


Aufgabe 4.3 (6 Punkte)

Geeignetes Modell finden für:

Es werden nacheinander auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte Zufallszahlen erzeugt. Sei X die zufällige Anzahl der Versuche bis erstmals eine Zufallszahl erscheint, die größer als 0.8 ist.

Aus langjährigen Beobachtungen ist bekannt, dass die Anzahl der Zuschauer bei einem Fußballspiel der Mannschaft 1. FCU im Mittel 20000 ist. Sei Y die zufällige Anzahl der Zuschauer im 1. Spiel der neuen Saison.

Es werden 20 mal zufällig Zahlen aus der Menge {1,..., 49} gezogen. Sei Z die zufällige Anzahl des Auftretens der Zahl 1.


Aufgabe 4.4 (7 Punkte)

Partielle Funktion gegeben:

f(x) = (1/2) * sin(x) falls x aus [0, pi] sonst 0

Aufgabe: Zeigen, dass f(x) Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X ist. Außerdem Erwartungswert und Varianz berechnen.


Aufgabe 4.5 (4 Punkte)

X_1 , X_2 , ... , X_1200 sind unabhängige gleichverteilte Variablen auf dem Intervall [0,1].

Wahrscheinlichkeit berechen für Ereignis A = {Summe von i = 1 bis 1200 von X_i > 620}.

Hinweis: var(X_i) = 1/12 und phi(2) = 0.9772 wobei phi die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariable ist.

= Note: Mittelmäßig gut bestanden
= Fazit:
Hat man die Übungsaufgaben zu Simplex ausführlich und fehlerfrei gemacht, ist der Teil von Popova einfach zu schaffen.
Für den Teil von Kössler ist es von Vorteil, sich die ganzen Algorithmen auf den Spickzettel aufzuschreiben, sowie die Modelle aus dem Skript.
An sich war die Prüfung sehr einfach machbar, jedoch kann es schnell an kleinen Fehlern scheitern, da z.B. allein Aufgabe 1.3/2.2 einfach jeweils 14 Punkte bringen.
Man kann sich auch in kurzer Zeit vorbereiten, deswegen keine Panik, aber eine Woche dürfte vollkommen reichen.

Nr.PrüferFach
862 Popova-Zeugman Dr. Angewandte Mathematik für InformatikerInnen

Protokoll

12.10.2018
War mein dritter Versuch. Ich habe dementsprechend 4 Wochen gelernt+ plus die Lernzeit für den zweiten Versuch vorher.
1 Woche reicht um zu bestehen. Für mehr Punkte 2-3 Wochen
Verwendete Materialien (Bücher, Skripte etc...): Übungsblätter, LOA/DGL Aufgabenpool von der Webseite, Skript
"Atmosphäre" der Prüfung / Verhalten der Beisitzer: Lief alles entspannt und ruhig ab. Die Zeit von 90min ist schon sportlich, wenn man LOA und DGL und Simpson/Trapez Regel nicht im Schlaf kann. Dann fressen die Zeit.
= Prüfungsfragen:
Ich habe die genauen Aufgaben nicht mehr im Kopf, liste aber mal die Themen die ran kamen

1 Aufgabe (20P)
a) absolute und relative Kondition von einer Funktion. Ich glaube das war f(x) = x^4
b) lineare Regressionsfunktion bestimmen mit 5 gegebenen Punkten
c) weiß ich nicht mehr

2 Aufgabe (23P)
a) duale LOA bestimmen
b) LOA berechnen und falls nötig, zuerst Hilfsaufgabe lösen (es war natürlich nötig)

3 Aufgabe (20P)
a) Simpsonregel mit 1,2,4 Intervallen und Trapezregel mit 1 und 2 Intervallen und exakten Integral bestimmen von x^2 im Intervall [0,4]
b) Eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe mit 3x würfeln.
   b1) Wahrscheinlichkeit berechnen das min. eine 6 kommt
   b2) Wahrscheinlichkeit dass bei allen 3 Würfen die Augenzahl max 5 ist
c) Eine Stochastik-Aufgabe. Die weiß ich nicht mehr

4 Aufgabe (17P)
Differenzialgleichung 1.Ordnung, linear, inhomogen berechnen und AWP von y(0)=2
 
y`(x^2-1)+3(x^4-1)y+1/(e^x^3) = (e^x^3) * (x^2-1)

= Note: gab noch keine Ergebnisse
= Fazit: Absolut machbare Prüfung. Die DGL ist etwas nervig und sieht erstmal komplex aus. Aber wie bei allen DGL aus allen Prüfungen die ich bisher gesehen hab: Erstmal umstellen und vereinfachen.
Wie ihr seht, sind die Punkte für einzelne Aufgaben schon echt heftig. Daher muss bei euch LOA und DGL und Simpson/Trapez sitzen. Und am besten wie im Schlaf, damit ihr mit der Zeit klar kommt. Bisher war bei allen Prüfungen der DGL und LOA Teil ausreichend um zu bestehen. Dann noch Simpson/Trapez und ihr seid sicher durch. Viel Erfolg

Nr.PrüferFach
863 Popova-Zeugman Dr. Angewandte Mathematik für InformatikerInnen

Protokoll

Ergänzung zu meinem vorherigen Protokoll vom 12.10.2018

Die richtige DGL war:
y`(x^2-1) + 3(x^4-1)y - (1/(e^x^3))*(x^2-1) = (x^2-1)

Nr.PrüferFach
935 Popova-Zeugman Dr. Angewandte Mathematik für InformatikerInnen

Protokoll

AngMa Protokoll SS 20
= Datum der Prüfung   17.08.2020


Aufgabe 1

	1. Modifizierte einfache Iteration mit f(x) im Intervall I = [0,2] 
	(Funktion weiß ich leider nicht mehr)
	
	2. Wähle ß = -1/2 und betrachte g(x)  = ß*f(x) + x
		Zeige die Abbildung g(x) im Invervall [0,2] ist kontraktiv.



Aufgabe 2

a) 	Eine Figur zwischen den Zuständen Z_1 und Z_2. Für i,j > 1,2 sei 
		p_i,j = {1/3 falls i = j
			{2/3 falls i != j 
	Übergangswahrscheinlichkeit in einem Schritt von Z_i zu Z_j.
	
	Sei S_i das Ergebnis, das in Z_i startet und E_j, das nach einem Schritt in Z_j
	Weiter sei q_1 = P(S_1) = 5/6 und q_2 = P(S_2) = 1 /6
	
	1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit is die Figur nach einem Schritt in Z_1?
		P(E_1) =
	
	2. Angenommen 1. sei passiert, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie in Z_1 gestartet?
		PS_1|E_2) =



b)	f(x) = c * 	{sin(x) , falls x \in (0, pi)
			{0, sonst
	
	1. Bestimme Konstante c so, dass f(x) die Dichte einer Zufallsvariablen ist.
	
	2. Bestimme Erwartungswert X.
	
	3. Berechne die Wahrscheinlichkeit P(pi/4 < X < pi/2) = 

c) Modelle finden
	
	1. Zufällige Weite W, von einem Speerwerfer, wobei mittlere Weite 80 m beträgt
	
	
	2. Zufällige # Bildpunkte in einem 100x100 Quadrat, alle voneinander unabhängig und ein Punkt mit der 
	   Wahrscheinlichkeit 0,37 schwarz
	
	
	3. Zufällige Lebensdauer Y eines elektronischen Bauelements.
	
	
	4. # Würfe einer fairen Münze bis  Zahl vorkommt, bei unabhängigen Würfen.





Aufgabe 4
	(4x^2-1)y'-(16x^4-1)y = (8x+4)e^((4x^3+3x)/3) für x \in R 
	DGL lösen und Anfangswertproblem mit y(0) = 1 berechnen.
	


Ansonsten 
Natürlich Simplex-Alogrithmus, wobei eine Aufgabe war, die Duale Simplex aufzustellen
und bei der anderen sollte man den Simplex-Alogrithmus anwenden und falls nötig mit einer 
weitern Einschränkung nachoptimieren.
Trapez- und Simpsonregel berechnen war auch eine Aufgabe.

** x \in R bedeutet "x ist Element von den Reellen Zahlen"